Question

只需研究着名论文PRIMES is in P并感到困惑。

所提出的算法的第一步是If (n=a^b for nature number a and b>1), output COMPOSITE.由于整个算法在多项式时间内运行，因此该步骤也必须在O（（log n）^ c）中完成（给定输入大小为O（log n）。但是，在谷歌搜索后，我无法找出任何算法来击中目标。

问题：

是否有任何算法可用于测试多项式时间内某个其他数字的数字指数？

谢谢，最诚挚的问候！

Answer 1

如果n=a^b（对于＆gt; 1）则b≤log₂ n，我们可以检查小于b的所有log n测试一下，我们可以迭代从2找到b到log n，为了找到a，我们应该在1..sqrt（n）之间进行二进制搜索。但二进制搜索需要O（logn）次迭代，最后在搜索的每一步（对于任何找到的a进行检查）我们应该检查是否^b == n，这需要O（log n），因此总搜索时间将为O（log ³ n）。可能有一种更快的方法但是通过知道AKS是O（log ⁶ n），这个O（log ³ n）不会对任何东西造成伤害。

Answer 2

如果b和e存在b ^ e = n，则数n是完美的幂。例如216 = 6 ^ 3 = 2 ^ 3 * 3 ^ 3是完美的功率，但是72 = 2 ^ 3 * 3 ^ 2不是。确定数字是否是完美幂的技巧是要知道，如果数是一个完美的幂，那么指数e必须小于log2 n，因为如果e大于那么2 ^ e将大于n。此外，只需要测试素数e，因为如果数字是复合指数的完美幂，它也将是复合分量的素因子的完美幂;例如，2 ^ 15 = 32768 = 32 ^ 3 = 8 ^ 5是一个完美的立方根，也是一个完美的第五根。因此，该算法是制作小于log2 n的素数列表并测试每一个素数。由于log2 n很小，并且素数列表甚至更小，因此即使对于大n也没有太多工作。

您可以看到实施here。

Answer 3

public boolean isPerfectPower(int a) {
    if(a == 1) return true;
    for(int i = 2; i <= (int)Math.sqrt(a); i++){
        double pow = Math.log10(a)/Math.log10(i);
        if(pow == Math.floor(pow) && pow > 1) return true;
    }
    return false;
}

是否有多项式时间算法来测试某个数字的指数是否为？

3 个答案: