在O（log n）中计算x ^ y

Question

面试问题：

  

在O（log n）中计算x ^ y

有不同的答案，如“使用印度力量算法”或

double power(double x, int y) 
{
    if(y == 0) return 1;

    double d = power(x, y/2);

    if(y%2 == 0) return d*d;
    else return x*d*d;
}

1. 这是一个正确答案吗？

2. 有没有更好的方法来编写这个问题的代码？

Answer 1

这称为Exponentiation by Squaring。就实施而言，这是一个品味问题。你的递归实现是好的，但非递归实现（来自上面的链接）对于那些不喜欢递归或者错误地认为它在某种程度上“浪费”或“慢”的人来说可能看起来更清晰。

Answer 2

有关基本数学运算的问题以及有关计算复杂性的问题，维基百科通常会迅速回答。

Exponentiation：Efficient computation of integral powers

  

通常，通过使用求平方或（更一般地）加法链取幂，可以将计算bn所需的乘法运算的数量减少到Θ（log n）。找到最小乘法序列（指数的最小长度加法链）是一个难以解决的问题，目前还没有有效的算法（参见子集求和问题），但是可以使用许多合理有效的启发式算法。

Answer 3

让我们分析一下：

power被调用（通过递归），原始y可被2整除（这是最大数字k，因此2^k < y） 。这意味着计算的数量大致为k=log_2(2^k)=log_2(y)~=log(y)，因此这是一个正确的答案。

“更好的方式”的答案取决于什么算“更好”

Answer 4

这是做到这一点的方法：

让我们说你想要2 ^ 1024，那将需要......等待...... 11次乘法

你这样做

2*2 = 2^2
2^2 * 2^2 = 2^4
2^4 * 2^4 = 2^8
2^8 * 2^8 = 2^16
....
2^512 * 2^512 = 2^1024

所以基本上，你只需要在基数2中编写指数并得到所有相关的乘法

Answer 5

速度要快得多：%是一项非常昂贵的操作，用一个按位操作取而代之的是一个巨大的节省;同时将y/2替换为y>>1：

double power(double x, int y) {
    if(y == 0) return 1;

    double d = power(x, y>>1);

    if((y&1) == 0) return d*d;
    else return x*d*d;
}