查找具有区域约束的Voronoi镶嵌

Question

假设我们希望Voronoi分割具有N个点的矩形表面。 Voronoi曲面细分导致N个区域对应于N个点。 对于每个区域，我们计算其面积并将其除以整个表面的总面积 - 将这些数字称为a1，...，aN。他们的总和等于一致。

假设现在我们有一个N个数字的预设列表，b1，...，bN，它们的总和等于一。

如何找到Voronoi分区的N个点坐标的选择（任意），例如a1 == b1，a2 == b2，...，aN == bN？

编辑：

经过一番思考后，可能Voronoi分区不是最好的解决方案，整个方面是提出表面的随机不规则划分，使得N个区域具有合适的尺寸。 Voronoi在我看来似乎是合乎逻辑的选择，但我可能会弄错。

Answer 1

我会选择遗传算法。

以下是基本流程：

1）创建100组属于矩形的随机点。

2）对于每一组，计算voronoï图和区域

3）对于每一组，评估它与预设重量的比较（称之为分数）

4）按分数对点集进行排序

5）转储50个最差集

6）通过mixins积分在剩余的50个集合中创建50个新集合并添加一些随机集合。

7）跳到第2步，直到达到条件（分数高于阈值，发生次数，花费的时间等等）

你最终（希望）会得到一个“有点合适”的结果。

Answer 2

如果你要找的东西不一定是Voronoi镶嵌，并且可能是Power图，那么下面的文章中描述了一个很好的算法：

F。 Aurenhammer，F。Hoffmann和B. Aronov，“Minkowski型定理和最小二乘聚类”， Algorithmica， 20 ：61-76（1998）。

他们的问题版本如下：给定多边形P中的N个点（p_i），以及一组与P的区域相加的非负实数（a_i），找到权重（w_i），这样Power Cell Pow_w（p_i）与P的交点区域正好是a_i。在论文的第5部分中，他们证明了这个问题可以写成凸优化问题。要实现此方法，您需要：

• 有效计算电源图的软件，例如CGAL和
• 用于凸优化的软件。我发现使用诸如L-BFGS的准牛顿求解器在实践中给出了非常好的结果。

我在my webpage上有一些代码正是这样做的，名称为“二次最优传输”。但是，这段代码不是很干净，也没有很好的文档记录，所以实现自己的算法版本可能会快得多。您还可以查看关于此主题的SGP2011论文，该论文可在同一页面上找到，以简要描述Aurenhammer，Hoffman和Aronov算法的实现。

Answer 3

假设矩形轴对齐的坐标，其中x = 0处的左边缘和x = 1处的右边缘以及y = 0处的水平平分线。设B（0）= 0且B（i）= b1 + ... + bi。把点放在（（B（i-1）+ B（i））/ 2,0）。这是不对的。我们将x坐标设为xi，使得bi =（x（i + 1） - x（i-1））/ 2，将x（0）替换为0，将x（n + 1）替换为1.这是三对角线应该有一个简单的解决方案，但也许你不想要这样一个无聊的Voronoi图;它将是一堆垂直分裂。

对于更随机的图表，可能是物理学的启发：随机丢弃点，计算Voronoi图，计算每个细胞的面积，使超重细胞对其邻居的点有吸引力，使体重不足的细胞排斥并计算小每个点的delta，重复直到达到平衡。

Answer 4

当您计算最小生成树并移除最长边时，可以计算voronoi tesselation。然后，mst的子树的每个中心都是voronoi图的一个点。因此，voronoi图是最小生成树的子集。