甚至长度路径算法

Question

我被要求编写一个有效的算法来查找有向图中的所有顶点，这些顶点具有从给定顶点到它们的路径的偶数长度。

这就是我的想法：

（它与DFS的“访问”算法非常相似）

Visit(vertex u)

     color[u]<-gray
     for each v E adj[u]
       for each w E adj[v]
            if color[w] = white then
                     print w
                     Visit(w)

我认为它有效，但我很难计算它的效率，特别是当图表是循环时。你能帮帮我吗？

Answer 1

如果我可以提出替代方案 - 我会减少问题并使用DFS而不是修改DFS 。

给定图表G = (V,E)，创建图G' = (V,E')，其中E'={(u,v) | there is w in V such that (u,w) and (w,v) are in E)
换句话说 - 我们正在创建一个图G'，当且仅当从u到v的路径长度为2时才有边（u，v）。

鉴于该图，我们可以推导出以下算法[高级伪代码] ：

1. 从G
创建G'
2. 从源s在G'上运行DFS，并标记标记为DFS的相同节点。

---

解决方案的正确性和时间复杂性分析：

<强>复杂度： 复杂性显然是O(min{|V|^2,|E|^2} + |V|)，因为第1部分 - 因为G'中最多有min{|E|^2,|V|^2}个边，所以步骤2中的DFS在O(|E'| + |V|) = O(min{|V|^2,|E|^2} + |V|)中运行

<强>正确性：
如果算法发现存在从v0到vk的路径，那么从DFS的正确性 - 在G'上存在路径v0-> v1-> ...-> gt; vk是G上偶数长度的路径v0->v0'->v1->v1'->...->vk。
如果从G到v0的{​​{1}}上存在均匀长度的路径，请将其设为vk。然后v0->v1->...->vk是v0->v2->...->vk上的路径，将由DFS找到 - 来自DFS的正确性。

作为旁注：
减少问题而不是修改算法通常对错误不太敏感，并且更容易分析和证明正确性，因此在可能的情况下，您通常应该优先考虑修改算法。

编辑：关于您的解决方案：嗯，分析它显示它们几乎完全相同 - 除了我生成G'作为预处理，并且您正在生成它在每次迭代中，在飞行中。
由于你的解决方案正在产生边缘 - 它可能会做一些工作，然后再做一次。但是，由于每个顶点最多访问一次，因此它最多只能E'次工作。
为简单起见假设|V|，为我们的解决方案提供|E| = O(|V|^2)运行时间的总上限。
它也是下限，查看clique的示例，在任何节点的每个O(|V|^3)期间，算法将visit()生成所有可能性，{ {1}}其中一种可能性，因为我们准确访问了O(|V|^2)个节点，因此总运行时间为visit()
由于我们发现解决方案同时为|V|和Omega(|V|^3)，因此总计为O(|V|^3)

Answer 2

对于每个无向图G（V，E），在以下情况下，我们应将上述图重建为二部图G'（V'，E'）：

• V'= V1∪V2
• E'= {（u1，v2）:( u，v）∈E，u1∈V1，v2∈V2}
• V1 = {v1：v∈V}
• V2 = {v2：v∈V}

例如图表

成为

在此图（二分图）上，我们应该运行BFS算法-BFS（G'，S1'）。 运行BFS（G'，S1'）之后，我们应该返回包含最短偶数路径δ（s1，u1）长度的数组d。