最短的路径变化

Question

我正在寻找以下问题的解决方案，与最短路径相关。

给定有向图G =（V，E），源s，目标t1，t2，...，tk和行进边{i，j}的成本是cij。现在我想知道从s到t1，...，tk的最短路径。但是，如果使用了椎骨v _i （不是源或目标），那么我们有额外的C成本。注意，两条路径使用相同的椎骨vi，成本C只支付一次。

Answer 1

如果您正在寻找最短路径，并且如果使用c 则每条路径都会受到处罚：

创建修改后的加权函数：

w'(u,v) = w(u,v) + C    if v == c
w'(u,v) = w(u,v)        otherwise

很容易看出，在dijkstra's algorithm或Bellman Ford运行w'时，使用c的任何路径都会被C严重惩罚，因为如果c出现在路径中 - 它只出现一次，因此C会被添加到总权重中[注意c在最短路径中不能再出现一次]，当然还有如果在此路径中未使用c，则不会受到惩罚。

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编辑：我不确定我是否理解正确，如果@SaeedAmiri提到的是正确的话，如果你只想给予惩罚一次[并且最小化路径的总和到t1，...，tk] 然后你应该使用不同的解决方案 - 有类似的想法：

创建加权函数w'，使得：

w'(u,v) = w(u,v) + C + epsilon    if v == c
w'(u,v) = w(u,v)                  otherwise

请注意，重要的是epsilon是一个小尺寸，只能在w'上实现，并且是可能的最小尺寸。

1. 使用w在图表上运行dijkstra或BF，让我们将权重表示为 W1
2. 使用w'在图表中运行dijkstra或BF，让我们将权重表示为W2
3. 如果W1[ti] == W2[ti]每个ti∈{t1，...，tk} - 那么您在最短路径中不需要c，总结果为SUM(W1[ti]) < / LI>
4. 否则 - 结果为min {SUM（W1 [ti]）+ C，SUM（W2 [ti]）`

第4步背后的想法是你有两种可能性：

• 您可以在不使用c的情况下访问t1，...，tk的所有内容，然后使用带有它的路径会更便宜，因此您将返回W2的总和。
• 或者，如果忽略c - 只会更加广泛 - 因此你可以自由地使用它[并返回W1的总和]，并且只加一次惩罚。

Answer 2

标准的O（n ^ 3）动态编程解决方案......

http://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstras_algorithm

......仍然有效，只需稍作调整：

只计算直接成本的邻接矩阵，然后迭代考虑快捷方式，但在计算快捷方式的成本时加上vi。

Answer 3

你还没有准确地告诉我们这个问题到底是什么，但是有一个明确的片段承认了从集合覆盖中保持客观的减少。

对于集合封面的任意实例，设置一个图形，其中包含源，每个集合的顶点以及每个元素的顶点。端子t1，...，tk是元件顶点。每个集顶点具有权重为零的边到源和对应于其元素的顶点。在此图表中，我们必须购买一套机盖，以便从源头到达终端，每套机盖都足够了。

除非你能告诉我们你的实例，否则多项式时间算法的近似比率不会比Theta（log n）好，所以我建议整数编程。