在解决复发问题时，地板和天花板何时起作用？

Question

我遇到了在解决复发问题时忽略地板和天花板的地方。

来自CLRS 的示例（第4章，第83页），其中楼层被忽略：

Here（第2页，练习4.1-1 ）是忽略上限的示例： （编辑：我从公众舆论中得知这有点可疑。）

事实上，在CLRS（ pg.88 ）中，它提到：

“地板和天花板在解决复发时通常无关紧要”

我的问题：

1. 这里“通常”是指所有情况？如果是的话，我可以一直忘记它们。
2. 如果没有，那么什么时候地板和天花板在解决复发时真的算了？？

注意：这不是作业问题。当我刷新我的DS和算法概念时，我想到了它。

Answer 1

地板和天花板功能满足所有 x 的以下不等式：

• x -1＆lt; ⌊ x ⌋≤ x

• x ≤⌈ x ⌉＆lt; X 的1

因此，在第一示例中，我们有⌊名词的/2⌋≤名词的/ 2。此外，因为对数是单调递增函数，我们知道lg⌊ n /2⌋≤lg（ n / 2）。将这些一起，我们得到第一不等式2（ C 的⌊名词的/2⌋LG⌊名词的/2⌋）+ 名词≤ cn lg（ n / 2）+ n 。

第二个例子实际上包含一个错误： c lg⌈ n /2⌉+ 1从不小于但可以等于 c lg（ n / 2）+ 1.然而， 为真 c lg⌈ n / 2 ⌉+ 1≤ C 的LG（名词的/ 2 + 1）+ 1，我们可以然后从上面的约束，也就是说， C 的LG （ n / 2）+ 2（假设 n ≥2）从而得出 T （ n ）∈ O （lg n ）。

实际上，第二个例子也包含其他错误：即使使用以下段落中所述的假设（您没有引用），最后一个符号也应该是≤。

（Ps.Phew，如果没有LaTeX，这是一个真正的痛苦。如果没有别的话，为什么math.SE会更好地询问这些问题。）

Answer 2

您的两个示例都可以通过主定理进行分析。 Akra–Bazzi theorem推广了主定理并给出了可以忽略小扰动的充分条件（扰动h（x）是O（x / log ² x））。对于Akra-Bazzi可分析的整数索引重复，您可以忽略地板和天花板始终，因为它们的扰动最多为1。

在算法和数据结构的背景下，Akra-Bazzi未涵盖的每一次重复都是非常奇特的。