用非常小的值计算matlab中的函数

Question

我在matlab中创建一个函数来计算以下函数：

我们有这个功能：

这是我在matlab中实现的函数：

function [b]= exponential(e)
%b = ? 
b= (exp (e) -1)/e;

当我用非常小的值测试函数时，函数的限制实际上是1，但是当数字非常小（例如1 * e-20）时，限制会变为零？这种现象有什么解释？难道我做错了什么？。

x= 10e-1 , f (x)= 1.0517

x= 10e-5 , f (x)=  1.0000

x= 10e-10 , f (x)=  1.0000

x= 10e-20 , f (x)=  0

Answer 1

问题是exp(x)约为1+x，但由于1与浮点1无法区分，因此被评估为1+x表示。有一个MATLAB函数expm1(x)（exp(x)-1为小x实现），它避免了这个问题并适用于小参数：

>> x=1e-100;expm1(x)/x
ans =
     1

Answer 2

我必须尝试使用​​LIMEST工具。与任何自适应工具一样，它可以被愚弄，但通常都很好。

fun = @(x) (exp(x) - 1)./x;

正如你所看到的，乐趣在零处有问题。

fun(0)
ans =
   NaN

虽然如果我们评估接近于零的乐趣，我们会看到它接近1。

format long g
fun(1e-5)
ans =
          1.00000500000696

LIMEST成功，甚至可以提供限制的误差估计。

[lim,err] = limest(fun,0,'methodorder',3)

lim =
     1

err =
      2.50668568491927e-15

LIMEST使用一系列多项式近似，并结合自适应Richardson外推法生成极限估计值和对该极限值的不确定性度量。

那你看到了什么问题？您看到的失败是简单的减法取消错误。因此，请查看

的值

exp(1e-20)
ans =
     1

即使格式为long g，exp（1e-20）的双精度值也太接近1，当我们减去1时，结果是精确的零。除以任何非零值，我们得到零。当然，当x实际上为零时，我们有一个0/0条件，所以当我尝试时会产生NaN。

让我们看看高精度会发生什么。我将使用我的HPF工具进行该计算，并以64位十进制数字工作。

DefaultNumberOfDigits 64
exp(hpf('1e-20'))
ans =
1.000000000000000000010000000000000000000050000000000000000000166

当我们断开1时，看到1和指数值之间的差值小于eps（1），因此MATLAB必须产生零值。

exp(hpf('1e-20')) - 1
ans =
1.000000000000000000005000000000000000000016666666666670000000000e-20

未提出的问题是我如何选择在MATLAB中准确生成该函数。显然，你不想使用蛮力并定义我的乐趣，因为你失去了很多准确性。我可能只是在零附近的有限区域扩展泰勒系列，并使用如上所述的乐趣x与0显着不同。

Answer 3

我认为这与你的数字的精确度有关。简而言之，MATLAB的默认精度为5位数。您可以使用format long将其扩展到15。有关MATLAB精度的更多信息，请查看this article