在Matlab中求解具有非常小系数的二次方程

Question

我正在使用解决方案公式在matlab中实现一个代码来解决二次方程：

这是代码：

clear all 
format short 
a=1; b=30000000.001; c=1/4; 
rdelta=sqrt(b^2-4*a*c); 
x1=(-b+rdelta)/(2*a);
x2=(-b-rdelta)/(2*a);
fprintf(' Roots of the polynomial %5.3f x^2 + %5.3f x+%5.3f \n',a,b,c)  
fprintf ('x1= %e\n',x1)
fprintf ('x2= %e\n\n',x2)
valor_real_x1= -8.3333e-009;
valor_real_x2= -2.6844e+007;

error_abs_x1 = abs (valor_real_x1-x1);
error_abs_x2 = abs (valor_real_x2-x2);

error_rel_x1 = abs (error_abs_x1/valor_real_x1);
error_rel_x2 = abs (error_abs_x2/valor_real_x2);

fprintf(' absolute_errorx1 = |real value - obtained value| = |%e - %e| = %e \n',valor_real_x1,x1,error_abs_x1)  
fprintf(' absolute_errorx2 = |real value - obtained value| = |%e - %e| = %e \n\n',valor_real_x2,x2,error_abs_x2) 

fprintf(' relative error_x1 = |absolut error / real value| = |%e / %e| = %e \n',error_abs_x1,valor_real_x1,error_rel_x1 ) 
 fprintf(' relative_error_x2 = |absolut error / real value|  = |%e / %e| = %e \n',error_abs_x2,valor_real_x2,error_rel_x2) 

我遇到的问题是它给了我一个精确的解，即对于值a = 1，b = 30000000,001 c = 1/4，根的值是：

Roots of the polynomial 1.000 x^2 + 30000000.001 x+0.250 
 x1= -9.313226e-009
 x2= -3.000000e+007

知道多项式根的确切值是：

x1= -8.3333e-009
x2= -2.6844e+007

这给出了计算的绝对精度和相对精度的以下误差：

 absolute_errorx1 = |real value - obtained value| = |-8.333300e-009 - -9.313226e-009| = 9.799257e-010 
 absolute_errorx2 = |real value - obtained value| = |-2.684400e+007 - -3.000000e+007| = 3.156000e+006 

 relative error_x1 = |absolut error / real value| = |9.799257e-010 / -8.333300e-009| = 1.175916e-001 
 relative_error_x2 = |absolut error / real value|  = |3.156000e+006 / -2.684400e+007| = 1.175682e-001

我的问题是：是否有一种获得二次方程根的最佳方法？即我可以对我的代码进行更改以减少预期解决方案与最终解决方案之间的相对误差？

Answer 1

在这种情况下直接使用二次公式会导致数值精度的大量损失，从而减去两个非常相似的值。这是因为表达式

sqrt(b*b - 4*a*c)

与b几乎相同。所以你应该只使用这两个根中的一个，一个不涉及减去两个非常接近的值，另一个根你可以使用（例如）二次方根的乘积为c / a的事实。我会让你填补空白。

Answer 2

为什么这听起来像数字分析中的头等课程问题？

从那时起我已经有一段时间了，但我记得有一个伎俩。无论如何，你错了。该多项式的真正根源是

solve('x^2 + 30000000.001*x + 0.25')
ans =
          -30000000.000999991666666666944442
 -0.0000000083333333330555578703796293981491

根在这里有多好？

p = [1 30000000.001 1/4];
format long g
roots(p)
ans =
             -30000000.001
     -8.33333333305556e-09

实际上看起来非常不错。 HPF如何做？

DefaultNumberOfDigits 64
a = hpf(1);
b = hpf('30000000.001');
c = hpf('0.25');

r1 = (-b + sqrt(b*b - 4*a*c))/(2*a)
r1 =
-0.000000008333333333055557870379629398149125529835186899898569329967

r2 = (-b - sqrt(b*b - 4*a*c))/(2*a)
r2 =
-30000000.000999991666666666944442129620370601850874470164813100101

是的，HPF的效果还不错。

那么当您使用双精度数字和标准公式时会发生什么？是的，crapola到了。

a = 1;
b = 30000000.001;
c = 0.25;

>> r1 = (-b + sqrt(b*b - 4*a*c))/(2*a)
r1 =
     -7.45058059692383e-09

>> r2 = (-b - sqrt(b*b - 4*a*c))/(2*a)
r2 =
             -30000000.001

同样，大量的减法取消会消除结果。 （我似乎记得那是你在上一个问题中遇到的问题。）

你可以使用一个技巧。看到大的解决方案得到了很好的估计，而不是接近零的解决方案。那么，如果使用二次公式求解fliplr（p）的根，会发生什么？这如何解决您的问题？当你这样做时，隐含地进行了什么转变？ （对不起，但我不会做你的作业。我认为上面的内容已经足够了。）

Answer 3

我认为你的“真实”价值观可能是错误的（或者它可能是一个精确的东西......我不知道）

a*(valor_real_x1^2)+b*(valor_real_x1)+c

ans =

   9.9999e-07

a*(valor_real_x2^2)+b*(valor_real_x2)+c

ans =

  -8.4720e+13

Answer 4

这个问题的一个很好的公式：

var q = sqrt(c*a)/b;
var f = .5 + .5 *sqrt(1-4*q*q);
var x1=-b*f/a;
var x2=-c/(f*b);