Question

精益定理证明的4.4节显示如下：

(∃ x, p x) ↔ ¬ (∀ x, ¬ p x) := sorry

在这里，我将重点介绍从右到左的情况：

¬ (∀ x, ¬ p x) → (∃ x, p x)

我们知道我们将有一个类型为¬ (∀ x, ¬ p x)的参数，所以让我们开始：

example : ¬ (∀ x, ¬ p x) → (∃ x, p x) := 
    (assume hnAxnpx : ¬ (∀ x, ¬ p x),
        _ 
    )

在这一点上，如果我们尝试将exists.intro与x一起使用：

example : ¬ (∀ x, ¬ p x) → (∃ x, p x) := 
    (assume hnAxnpx : ¬ (∀ x, ¬ p x),
        exists.intro x _)

由于x是未知标识符，我们将收到错误消息。

但是，作为这组练习的一部分，我们得到了：

variables a : α

因此，我们尝试将exists.intro与之配合使用：

example : ¬ (∀ x, ¬ p x) → (∃ x, p x) := 
    (assume hnAxnpx : ¬ (∀ x, ¬ p x),
        exists.intro a _)

我们没有p a，所以让我们尝试通过em使用经典逻辑：

or.elim的第一子句以简单的方式处理：

example : ¬ (∀ x, ¬ p x) → (∃ x, p x) := 
    (assume hnAxnpx : ¬ (∀ x, ¬ p x),
        or.elim (em (p a))
            (λ hpa : p a, exists.intro a hpa)
            (λ hnpa : ¬ p a, _))

由于我们有一个从(∀ x, ¬ p x)到false（即hnAxnpx）的函数，因此，我们尝试构建类型为(∀ x, ¬ p x)的值。然后我们可以调用hnAxnpx并使用false.elim。

example : ¬ (∀ x, ¬ p x) → (∃ x, p x) := 
    (assume hnAxnpx : ¬ (∀ x, ¬ p x),    
        or.elim (em (p a))        
            (λ hpa : p a, exists.intro a hpa)    
            (λ hnpa : ¬ p a, false.elim (hnAxnpx (λ a, _))))

在这一点上，我们似乎是如此接近！我们被告知我们需要一个¬p a下划线所在的位置。看来hnpa就是这样一个值。因此，我们尝试一下：

example : ¬ (∀ x, ¬ p x) → (∃ x, p x) :=     
    (assume hnAxnpx : ¬ (∀ x, ¬ p x),    
        or.elim (em (p a))        
            (λ hpa : p a, exists.intro a hpa)    
            (λ hnpa : ¬ p a, false.elim (hnAxnpx (λ a, hnpa))))

但是，随之而来的是以下错误：

type mismatch at application
  hnAxnpx (λ (a : α), hnpa)
term
  λ (a : α), hnpa
has type
  α → ¬p a
but is expected to have type
  ∀ (x : α), ¬p x

我应该继续上面说明的方法吗？还是应该考虑采用完全不同的方法？

更新

这是另一种方法：

example : ¬ (∀ x, ¬ p x) → (∃ x, p x) := 
    (assume hnAxnpx : ¬ (∀ x, ¬ p x),
        false.elim (hnAxnpx
            (λ x,
                (λ hpx : p x, _)))) -- Here we'll need a false.

但是，到那时，我还不清楚如何在下划线处获得false值。

更新

leanprover zulip组provided the following very helpful hints上的马里奥·卡内罗（Mario Carneiro）关于这最后一种方法：

请勿在您使用的地方使用false.elim；那丢掉了   我们试图证明(∃ x, p x)并导致   无法解决的状态

改为在此处使用by_contradiction，这还为您提供了   假设¬ (∃ x, p x)

通过此建议，我们得到：

example : ¬ (∀ x, ¬ p x) → (∃ x, p x) := 
    (assume hnAxnpx : ¬ (∀ x, ¬ p x),
        by_contradiction
            (λ hnExpx : ¬ (∃ x, p x), 
                (hnAxnpx
                    (λ x, (λ hpx, 
                        hnExpx (exists.intro x hpx))))))

似乎有效。

TPIL 4.4：示例：¬（∀x，¬p x）→（∃x，p x）

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