Question

精益定理证明的

Section 3.6显示以下内容：

example : p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) := sorry

由于这涉及iff，因此我们首先从左到右演示一个方向：

example : p ∨ (q ∧ r) → (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) :=

    (assume h : p ∨ (q ∧ r),

        or.elim h

            (assume hp : p, 

                show (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), from ⟨or.inl hp, or.inl hp⟩)

            (assume hqr : q ∧ r,

                have hq : q, from hqr.left,
                have hr : r, from hqr.right,

                show (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), from  ⟨or.inr hq, or.inr hr⟩))

要走另一个方向，我们必须显示：

(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) → p ∨ (q ∧ r)

根据本书中到目前为止显示的示例，该示例与众不同之处在于左侧包含了两个 or表达式...看起来好像d必须两次使用or.elim ...

我弄乱了几种方法。这是一个将or.elim嵌套在另一个{

example : (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) → p ∨ (q ∧ r) :=

    (assume h : (p ∨ q) ∧ (p ∨ r),

        have hpq : p ∨ q, from h.left,
        have hpr : p ∨ r, from h.right,

        or.elim hpq

            (assume hp : p,

                show p ∨ (q ∧ r), from or.inl hp)

            (assume hq : q, 

                or.elim hpr

                    (assume hp : p,

                        show p ∨ (q ∧ r), from or.inl hp)

                    (assume hr : r,

                        show p ∨ (q ∧ r), from or.inr ⟨hq, hr⟩)))

让我感到奇怪的是，以下表达式出现了两次：

(assume hp : p,

    show p ∨ (q ∧ r), from or.inl hp)

有没有不涉及这种重复的方法？

还有更惯用的方法吗？

Answer 1

您的方法使用Theorem Proving In Lean中介绍的第一种方法，并不是真正的惯用语，因为精益数学库中的代码是以战术模式编写的（在书中稍后介绍）或完整的模式。这是一个战术模式证明：

import tactic.rcases -- advanced mathlib tactics, to speed things up a bit
variables (p q r : Prop)

example : (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) → p ∨ (q ∧ r) :=
begin
  rintro ⟨hpq,hpr⟩,
  cases hpq, -- this is or.elim
    left, assumption, -- first show
  cases hpr, -- second or.elim
    left, assumption, -- second show
  right, exact ⟨hpq, hpr⟩
end

我也看不到如何避免重复的代码-left, assumption扮演着assume, show的角色。如果要避免导入，可以将rintro行更改为intro h, cases h with hpq hpr,。

尽管如此，这种逻辑证明可以很容易地以直接模式编写：

example (p q r : Prop) : (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) → p ∨ (q ∧ r) :=
λ ⟨hpq, hpr⟩, or.elim hpq or.inl $ λ hq, or.elim hpr or.inl $ λ hr, or.inr ⟨hq, hr⟩

“复制”现在只是功能or.inl出现两次的事实。我的感觉是，由于p可以用两种不同的方式从假设中得到证明，因此您需要在某个地方进行重复，因为您处在参数的两个不同“线程”中。一旦您了解了Lean的_漏洞功能的强大功能，就不难构建这样的术语。例如，在构造此lambda术语的一半过程中，我的会话如下所示：

example (p q r : Prop) : (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) → p ∨ (q ∧ r) :=
λ ⟨hpq, hpr⟩, or.elim hpq or.inl $ _

孔的错误准确地告诉了我我需要构造哪个术语来填补它。

最后，就像@jmc所说的那样，这样的东西可以用策略来伪装，这实际上可能是解决该目标的惯用方式：

import tactic.tauto

example (p q r : Prop): (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) → p ∨ (q ∧ r) :=
by tauto!

请注意此处的导入。精益的数学库mathlib（所有的数据都来自此库），数学家在那里做数学，计算机科学家也制定了强大的策略，这使每个人（不仅仅是数学家）生活得更好。

如果您还有其他问题，一种更有效的答案答案是在the Lean chat at Zulip处提问，也许是在#new成员流中。那里的团队通常会非常高效地处理事务。

例如：（p∨q）∧（p∨r）→p∨（q∧r）

1 个答案: