TPIL 3.6：示例：¬（p→q）→p∧¬q

Question

精益定理证明的

Section 3.6显示以下内容：

example : ¬(p → q) → p ∧ ¬q 

让我们用¬来重写→表达式：

example : ((p → q) → false) → p ∧ (q → false)

在这一点上，很明显我们将拥有类型(p → q) → false的参数：

example : ((p → q) → false) → p ∧ (q → false) := 

    (assume hpqf : (p → q) → false,

        ...)

文本提到，这将需要经典推理。因此，假设我们必须使用em。

方法1

example : ((p → q) → false) → p ∧ (q → false) := 

    (assume hpqf : (p → q) → false,

        or.elim (em p)

            (assume hp : p,
                and.intro
                    hp 
                    (assume hq : q, hpqf (λ hp' : p, hq)))

            (assume hpf : p → false,

                and.intro 

                    -- Need to return a value of type p here.
                    -- Or a false (and use with false.elim).

                    (assume hq : q, hpqf (λ hp : p, hq))))

如评论中所述，我们需要类型为p或false的值。目前尚不清楚如何获得这些。

让我们尝试另一种方法。

方法2

example : ((p → q) → false) → p ∧ (q → false) := 

    (assume hpqf : (p → q) → false,

        or.elim (em q)

            (assume hq : q,
                false.elim (hpqf (λ hp : p, hq)))

            (assume hqf : q → false,

                or.elim (em p)

                    (assume hp : p, and.intro hp hqf)

                    (assume hpf : p → false,

                        -- and.intro ...
                        -- Here we have no access to p or q. It seems we'd need to generate false?
                    )))

类似的情况。让我们先从and.intro开始，然后在其“分支”中使用em：

方法3

example : ((p → q) → false) → p ∧ (q → false) := 

    (assume hpqf : (p → q) → false,

        and.intro

            or.elim (em p)

                (assume hp : p, hp)

                (assume hpf : p → false,
                    -- Need to generate a 'p' here.

                    -- Or a false.

                )

            or.elim (em q)

                (assume hq : q,
                    (λ hq': q, hpqf (assume hp : p, hq)))

                (assume hqf : q → false, hqf))

相似的结果。

我应该使用完全不同的方法吗？第3.5节提到了by_cases和by_contradiction；其中一个有用吗？

谢谢您的建议！

---

更新

以下是基于凯文方法的答案：

example : ((p → q) → false) → p ∧ (q → false) := 

    (assume hpqf : (p → q) → false,

        by_cases

            (assume hp : p,

                by_cases

                    (assume hq : q, and.intro hp (λ hq' : q, hpqf (λ hp' : p, hq)))

                    (assume hqf : q → false, and.intro hp hqf))

            (assume hpf : p → false,

                by_cases

                    (assume hq : q, false.elim (hpqf (λ hp : p, hq)))

                    (assume hqf : q → false,

                        false.elim (hpqf (λ hp : p, false.elim (hpf hp))))))

Answer 1

by_cases使您可以访问“按事实证明表”。换句话说，我们只需在四种情况下检查¬(p → q) → p ∧ ¬q为真，p为真，q为真，而p为假，则可以证明q。 ..）。

variables (p q : Prop)
open classical
example : ¬(p → q) → p ∧ ¬q :=
λ h, by_cases
  (assume hp : p, 
    by_cases
    (assume hq : q, _)
    (assume hnq : ¬ q, _) 
  )
  (assume hnp : ¬ p, 
    by_cases
    ( assume hq : q, _)
    (assume hnq : ¬ q, _)
  )

在这里，我没有填写四个_参数，但是将光标放在每个参数上将向您显示本地上下文。我不想填写它们，因为这种超级冗长的术语模式使我发疯。

在战术模式（在第5章中介绍）中，您可以像这样完整地说明它：

import tactic.interactive

variables (p q : Prop)
open classical
example : ¬(p → q) → p ∧ ¬q :=
begin
  intro hnpq,
  classical,
  by_cases hp : p; by_cases hq : q; split;
  -- 8 goals (replace previous semicolon by a comma to see this)
  try {assumption}, -- four left
  { intro h, apply hnpq, intro h', assumption},
  { exfalso, apply hnpq, intro h, assumption},
  { intro h, apply hnpq, intro h', assumption},
  { exfalso, apply hnpq, intro h', exfalso, apply hp, assumption}
end

但实际上我只是这样做：

import tactic.tauto
variables (p q : Prop)
example : ¬(p → q) → p ∧ ¬q := by tauto!

您可以try all this online，而无需安装精益软件。