方法1

Question

精益定理证明的4.4节显示如下：

example : (∀ x, p x) ↔ ¬ (∃ x, ¬ p x) := sorry

在这里，我将重点介绍从右到左的情况：

¬ (∃ x, ¬ p x) → (∀ x, p x)

方法1

我们知道我们将有一个¬ (∃ x, ¬ p x)类型的参数，所以让我们开始：

example : ¬ (∃ x, ¬ p x) → (∀ x, p x) := 

    (assume hnExnpx : ¬ (∃ x, ¬ p x),

        _)

我们知道我们将必须返回类型为(∀ x, p x)的表达式，所以让我们开始构造它：

example : ¬ (∃ x, ¬ p x) → (∀ x, p x) := 

    (assume hnExnpx : ¬ (∃ x, ¬ p x),

        (λ x, _))

在这一点上，我们需要返回一个p x类型的值，目前尚不清楚我们是否可以构建一个值。也许我们需要尝试提出一个false值。

给定hnExnpx的情况下，函数false返回(∃ x, ¬ p x)。因此，让我们尝试构建其中之一，对其应用hnExnpx，然后使用false.elim：

example : ¬ (∃ x, ¬ p x) → (∀ x, p x) := 

    (assume hnExnpx : ¬ (∃ x, ¬ p x),

        (λ x,

            false.elim (hnExnpx (exists.intro x (λ hpx, _)))

        ))

现在，我们回到了另一个false值。

方法2

第3章提到有时需要经典逻辑。

使用(em (∀ x, p x))的幼稚方法将我们引到这里：

example : ¬ (∃ x, ¬ p x) → (∀ x, p x) := 

    (assume hnExnpx : ¬ (∃ x, ¬ p x),

        or.elim (em (∀ x, p x))

            (λ hAxpx, hAxpx)

            (λ hnAxpx : ¬ (∀ x, p x), (λ x, _))

    )

同样，我们需要一个p x值或一个false。我们唯一的新事物是hnAxpx : ¬∀ (x : α), p x。尚不清楚如何获得p x。 hnAxpx确实返回false，但是我们需要一个(∀ x, p x)，这是我们想要的原始内容。：-）

也许这涉及对经典逻辑的更精细的使用？

欢迎提出任何建议！

更新

以下是基于simon1505475的评论的一种方法，该方法似乎有效：

示例：¬（∃x，¬p x）→（∀x，p x）：=

(assume hnExnpx : ¬ (∃ x, ¬ p x),

    (λ x, 

        or.elim (em (p x))

            (λ hpx : p x, hpx)

            (λ hnpx : ¬ p x, 

                false.elim (hnExnpx (exists.intro x (λ hpx : p x, hnpx hpx))))))

TPIL 4.4：示例：¬（∃x，¬p x）→（∀x，p x）

方法1

方法2

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