费马小定理的复杂性

Question

Input: p > 2, a; 1 < a < p 
Output: Boolean: if p is a probable prime
    b = a**(p-1)
    if (b % p == 1){ return true; }
    else { return false; }

所以我认为b的乘法是log₂(a) * log₂(p-1)，那么mod检查是log₂(b)？

Answer 1

b = a ** (p-1)表示ap-1。

复杂性取决于取幂的实现。在大多数情况下，我知道，简单的power通过将基础与其自身相乘来实现。这导致类似O(log₂(a)⋅p)的内容。

但是如果您使用fast exponentiation method的实现，则确实会O(log₂(p)⋅log₂(p)) = O((log₂(p))²)，因为您可以在每个步骤后使用模p，因此您的结果数字永远不会超过{{ 1}}。

注意：如果p为素数或true为Carmichael number，则函数返回p。