Question

这是我对费马小定理的实现。有谁知道为什么它不起作用？

以下是我遵循的规则：

设n为测试素数的数字。
选择介于2和n-1之间的任何整数。
计算a ^ n mod n。
检查是否a ^ n = a mod n。

mycode的：

int low = 2;
int high = n -1;
Random rand = new Random();

//Pick any integer a between 2 and n-1.
Double a = (double) (rand.nextInt(high-low) + low);

//compute:a^n = a mod n
Double val = Math.pow(a,n) % n;

//check whether a^n = a mod n   
if(a.equals(val)){
return "True";
}else{
return "False";
}

这是一个小于100000的素数列表。每当我输入任何这些数字，而不是得到'真'，我得到'假'。

The First 100,008 Primes

这就是我认为代码无效的原因。

Answer 1

在java中，double只有大约15到17位数的有限精度。这意味着虽然您可以计算Math.pow(a,n)的值，但对于非常大的数字，您无法保证一旦值超过15位，您将获得准确的结果。

使用较大的a或n值时，您的计算将超出该限制。例如 Math.pow(3, 67)的值为9.270946314789783e31，这意味着最后3位之后的任何数字都会丢失。因此，在应用模运算后，您无法保证获得正确的结果（example）。

这意味着您的代码实际上并未测试您的想法。这是浮点数工作方式所固有的，您必须更改保持值以解决此问题的方式。你可以使用long，但是你会遇到溢出问题（长期不能保持大于2^64 - 1的值，所以再次，3^67你会遇到另一个问题。< / p>

一种解决方案是使用一个用于保存任意大数字的类，例如BigInteger的{{1}}。

Answer 2

正如其他人所说，取力会迅速溢出。例如，如果你选择数字n来测试小到30的素数，并且随机数a是20,20 ^ 30 =大约10 ^ 39这是＆gt;＆gt; 2 ^ 90。（我拿了10 ^ 39的ln。）

您想使用BigInteger，它甚至拥有您想要的确切方法：

public BigInteger modPow(BigInteger exponent, BigInteger m)

“返回一个BigInteger，其值为（this ^ exponent mod m）”

另外，我认为测试2和n-1之间的单个随机数不会“证明”任何东西。你必须循环遍历2和n-1之间的所有整数。

Answer 3

@evthim即使您已经使用BigInteger类的modPow函数，也无法获得正确选择范围内的所有素数。为了进一步阐明问题，您将获得该范围内的所有质数，但是有些数字不是质数。如果您使用BigInteger类重新排列此代码。当您尝试所有64位数字时，一些非质数也会写入。这些数字如下；

341、561、645、1105、1387、1729、1905、2047、2465、2701、2821、3277、4033、4369、4371、4681、5461、6601，7957、8321、8481、8911、10261、10585 ，11305，12801，13741，13747，13981，14491，15709，15841，16705，18705，18721，19951，23001，23377，25761，29341，... https://oeis.org/a001567

161038、215326、2568226、3020626、7866046、9115426、49699666、143742226、161292286、196116194、209665666、213388066、293974066、336408382、376366、666、566、566、666 2001666066、2138882626、295226706.32200418 。 https://oeis.org/a006935

作为解决方案，请通过下面的链接获取这些号码的列表，以确保您测试的号码不在此列表中。 http://www.cecm.sfu.ca/Pseudoprimes/index-2-to-64.html

C＃的解决方案如下。

public static bool IsPrime(ulong number)
{
    return number == 2 
        ? true 
        : (BigInterger.ModPow(2, number, number) == 2 
            ? (number & 1 != 0 && BinarySearchInA001567(number) == false) 
            : false)
}

public static bool BinarySearchInA001567(ulong number)
{
    // Is number in list?
    // todo: Binary Search in A001567 (https://oeis.org/A001567) below 2 ^ 64
    // Only 2.35 Gigabytes as a text file http://www.cecm.sfu.ca/Pseudoprimes/index-2-to-64.html
}

实施费马小定理的问题

3 个答案: