Question

我不确定如何正式证明Big O Sum of Sums，即：

f1(n) + f2(n) is O(max(g1(n)),g2(n))

到目前为止，我已经尝试了以下内容：

让两个常量c1和c2成为c2 > c1。按大O定义：

f1(n) <= c1g1(n) and f2(n) <= c2g2(n)

我该怎么办？在这一步引入变量的数值替换来证明这种关系是否合理？不知道g或f，这是我能想到的唯一方法。

Answer 1

让

gmax = max(g1, g2), and gmin = min(g1, g2).

gmin是O（gmax）。现在，使用定义：

gmin(n) <= c*gmax(n) for n > some k

向每一侧添加gmax（n）给出：

gmin(n) + gmax(n) <= c*gmax(n) + gmax(n) for n > some k
gmin(n) + gmax(n) <= (c+1)*gmax(n)       for n > some k
g1(n) + g2(n) <= c'*gmax(n)              for n > some k

所以我们得到g1 + g2是O（max（g1，g2））。

由于f1 + f2是O（g1 + g2），因此big-O的传递性使得f1 + f2为O（max（g1，g2））。 QED。

Answer 2

我想我可能更像一个建构主义者，我会像这样攻击这个问题：

根据Big-O的定义，存在正c ₁，c ₂，N ₁和N ₂这样

  所有n的
f ₁（n）＆lt; = c ₁ g ₁（n）＆gt; N ₁

和
     对于所有n>
f ₂（n）＆lt; = c ₂ g ₂（n） Ñ<子> 2

让：

N'= max（N ₁，N ₂）
  c'= c ₁ + c ₂
   g'（n）= max（g ₁（n），g ₂（n））

然后对于所有n＆gt;我们有：

f ₁（n）＆lt; = c ₁ g ₁（n）＆lt; = c ₁ G'（n）的
  f ₂（n）＆lt; = c ₂ g ₂（n）＆lt; = c ₂ g' （n）的
  f ₁（n）+ f ₂（n）＆lt; = c ₁ g'（n）+ c ₂ g'（n）= c'g'（n）

因此，f ₁（n）+ f ₂（n）是O（g'（n））= O（max（g _{1 < /子>（N），克<子> 2 （N）））}

Answer 3

你甚至不需要这个定义 - 只需将快速增长的函数划分为两边，取无限远的限制，增长较慢的函数将接近零（即它无关紧要）。

证明Big-O Sum规则？

3 个答案: