证明声明的大O.

Question

我很难证明所有n^k O(2^n) k为lg2。我尝试了双方k*lgn=n并{{1}}，但这是错误的。我不确定我怎么能证明这一点。

Answer 1

要显示n ^k 为O（2 ⁿ ），请注意

  

n ^k =（2 ^{lg n} ） ^k = 2 ^{k lg n}

所以现在你要找到一个n ₀ 和c，这样对于所有n≥n ₀ ，

  

2 ^{k lg n} ≤c2 ⁿ

现在，让我们让c = 1，然后考虑当某些m为n = 2 ^m 时会发生什么。如果我们这样做，我们得到

  

2 ^{k lg n} ≤c2 ⁿ = 2 ⁿ

     

2 ^{k lg 2 m} ≤2 ^{2 m}

     

2 ^km ≤2 ^{2 m}

并且，由于2 ⁿ 是单调递增函数，这相当于

  

km≤2 ^m

现在，让我们完成一切。让我们假设我们让m = max {k，4}，所以k≤m。因此，我们有

  

km≤m ²

我们也有

  

m ² ≤2 ^m

因为对于任何m≥4，m ² ≤2 ^m ，我们通过选择m确保m = max {k，4}。结合这个，我们得到了

  

km≤2 ^m

这相当于我们想要在上面展示的内容。因此，如果我们选择任何n≥2 ^m = 2 ^{max {4，k}} ，那么n ^k ≤2< SUP>名词。因此，通过big-O表示法的形式定义，我们得到n ^k = O（2 ⁿ ）。

我认为这个数学是正确的;如果我错了，请告诉我！

希望这有帮助！

Answer 2

我还不能评论，所以我会回答这个问题。

您应该尝试找到满足此处找到的大O符号的正式定义的n0和M，而不是减少等式：{{3} }

n0=M=k的某些内容可能有用（我没有写出来，所以也许这不起作用，那只是为了给你一个想法）