确定线段集合的非凸包

Question

我有一个计算几何问题，我认为应该有一个相对简单的解决方案，但我无法弄明白。

我需要确定由多个线段定义的区域的非凸轮廓。

我知道各种非凸壳体算法（例如alpha形状），但我不需要完全通用的算法，因为线段在大多数情况下定义了一个独特的解决方案。

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正如@ Jean-FrançoisCorbett指出的，有些情况下有多种解决方案。我显然需要更多地考虑我的定义。

但是，我要做的是逆向工程并使用专有文件格式，以便我可以对自己和其他人收集的数据进行基本分析。文件格式很简单，但确定用于定义边界的算法要困难得多。

在许多可能导致非唯一解决方案的边缘情况下，导致相关软件在没有警告的情况下崩溃或者无法读取文件。

因此，当存在多个解决方案时，要么生成一个可接受的解决方案，要么能够确定存在多个解决方案，这是可以接受的。

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问题定义：

多边形的轮廓不应该穿过任何线段，并且应该由连接所有线段端点的线组成。所有段必须完全位于多边形的边界内或沿着多边形的边界。大纲中不能使用多个端点（通过在需要多边形关闭的软件库的末尾添加第一个点来忽略“关闭”多边形。）。

如果有多个解决方案符合此标准，那么这些解决方案中的任何一个都是可以接受的。 （能够确定解决方案何时是非唯一的，但这不是绝对必要的，这将是很好的。）

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示例：

举个例子，我有以下几点：

我想描述以下几个方面：

它也适用于非交叉段。 E.g。

我认为（？）在任何一种情况下都有一个独特的解决方案，符合之前的标准。 （编辑：一般来说，没有一个独特的解决方案，正如@ Jean-FrançoisCorbett所指出的那样。但是，我仍然对能够产生一种可接受的解决方案的算法感兴趣。）

测试用例

对于测试用例，这里是生成上述数字的代码。我在这里使用python，但这个问题与语言无关。

import matplotlib.pyplot as plt

def main():
    test1()
    test2()
    plt.show()

def test1():
    """Intersecting segments."""
    segments = [[(1, 1), (1, 3)],
                [(3.7, 1), (2, 4)],
                [(2, 0), (3.7, 3)],
                [(4, 0), (4, 4)],
                [(4.3, 1), (4.3, 3)],
                [(0, 2), (6, 3)]]

    desired_outline = [segments[0][0], segments[5][0], segments[0][1], 
                       segments[1][1], segments[2][1], segments[3][1],
                       segments[4][1], segments[5][1], segments[4][0],
                       segments[3][0], segments[1][0], segments[2][0],
                       segments[0][0]]

    plot(segments, desired_outline)

def test2():
    """Non-intersecting segments."""
    segments = [[(0, 1), (0, 3)],
                [(1, 0), (1, 4)],
                [(2, 1), (2, 3)],
                [(3, 0), (3, 4)]]

    desired_outline = [segments[0][0], segments[0][1], segments[1][1],
                       segments[2][1], segments[3][1], segments[3][0], 
                       segments[2][0], segments[1][0], segments[0][0]]

    plot(segments, desired_outline)


def plot(segments, desired_outline):
    fig, ax = plt.subplots()
    plot_segments(ax, segments)
    ax.set_title('Segments')

    fig, ax = plt.subplots()
    ax.fill(*zip(*desired_outline), facecolor='gray')
    plot_segments(ax, segments)
    ax.set_title('Desired Outline')

def plot_segments(ax, segments):
    for segment in segments:
        ax.plot(*zip(*segment), marker='o', linestyle='-')
    xmin, xmax, ymin, ymax = ax.axis()
    ax.axis([xmin - 0.5, xmax + 0.5, ymin - 0.5, ymax + 0.5])

if __name__ == '__main__':
    main()

有什么想法吗？

我开始怀疑其结果我试图再现该软件使用径向扫描算法在某种“内部”的坐标系（例如坐标与系统x-prime和{{1沿着由点的扩展定义的主轴进行缩放和旋转。这使得问题更加“圆形”。）然而，这产生了在许多情况下轮廓与线段相交的解。很容易发现它并从那里强力发出它，但肯定有更好的方法吗？

Answer 1

1. 选择一个安全的起点。可以是例如最大x的端点。
2. 三月沿线段。
3. 遇到任何交叉路口时，请始终左转并沿此新路段行进。
4. 遇到端点时，请记录它。转到2.
5. 当您返回起点时停止。现在，您记录的端点列表构成了凹形船体顶点的有序列表。

注意：如果存在不与任何其他线段相交的“自由浮动”外围线段，则会失败。但是，您指定“条形图唯一定义解决方案”，这将排除此失败条件。 （边远部分使两种不同的解决方案成为可能。）

编辑 ...或者更确切地说，外围细分可以制作两种截然不同的解决方案 - 具体取决于确切的布局。证明：下面是一个例子，我添加的黄色部分使得两种解决方案成为可能（蓝色和灰色可怕的手绘线）。如果黄色部分的方向垂直于它现在绘制的方式，那么只有一个解决方案是可能的。听起来你的问题定义不明确。



编辑实际上，如果你的网段集合是“非常凹的”，也可能会失败，也就是说，如果在你的一堆网段隐藏的角落里隐藏着端点。在下图中，我添加了一个黑色部分。我的算法会非法将其端点连接到另一个端点（灰色虚线）。我会留下我的答案，万一其他人倾向于建立它。

编辑之后再多想一想： 即使在“非常凹”的情况下，这个解决方案肯定会给你所有您的凹形船体的点以正确的顺序排列，但它们可能会散布着额外的不合适的点，例如黑色的点。所以可能会有太多的点。

当然，答案是做一些修剪。这将是相当复杂的修剪，特别是如果你可以有多个连续的“隐藏点”，如黑色，所以我没有考虑智能算法。但即使是盲目的，蛮力也是可行的。每个点都可以被接受或拒绝（布尔值），因此如果你的凹形船体中有 N 正确排序的候选点，那么只有2 ^ N 可以检查。这样，方式比原始排列问题的蛮力更少的可能性，这将有SUM of (n!/(n-k)!) for k=1:(n-1)种可能性（请原谅我的注释）。因此，该算法显着缩小了您的问题。

我认为这是要走的路。

Answer 2

不是一个完全充实的想法，但无论如何：假设你开始使用圆形扫描算法来进行凸包（你在那里排序，然后按照它们从中心点的角度处理点）。如果所有的点都在这个船体中，你就完成了。如果没有，那么你必须“收紧”船体以包括这些点。这些点中的每一个都是凸包的候选者，并且因为它们打破了凸起而被移除。有时（与第一个例子中的顶部紫色点一样），我们可以简单地将它们留在。我们不能的地方，因为船体的新段穿过一段（从底部绿色到底部紫色）第一个例子，假设底部浅绿色点在绿色之前得到处理），修复更多一些（并且我没有充实的部分，并且是问题的最新编辑中提到的部分）。