Question

我真的很困惑。我正在尝试计算斐波纳契数，但随着它们越来越大，数字开始变得错误。我不知道为什么。

如何使用Binet公式计算准确的斐波纳契数，我的理解是这应该总是返回一个整数？

以下是我一直在尝试使用的内容。

http://ideone.com/e6t6h

看到数字上升。它变得奇怪了吗？

这里我用cout.precision（15）打印出来;

http://ideone.com/XREh2

这里我用cout打印出来＆lt;＆lt;固定＆lt;＆lt;等等;等等

这里我使用了一个程序循环来计算迭代次数。

这个比使用Binet公式更准确。

反正。剂量任何人都有任何我可以看到的代码可以计算F（n）而不需要通过使用Binet公式迭代每个级别的（n）？

Answer 1

要使用Binet公式准确计算斐波纳契数，您需要准确解释√5。由于√5是不合理的，因此无法使用double或float准确表示，因此Binet的公式不适用于这些类型（但是，计算中的舍入会导致某些小输入的精确结果）。由于Fibonacci数是整数，因此您可以通过使用double或float获得Binet公式的精确结果，通过舍入后得到更多参数，

double binet(unsigned int n)
{
    static const double phi = (1 + sqrt(5))*0.5;
    double fib = (pow(phi,n) - pow(1-phi,n))/sqrt(5);
    return round(fib);
}

这将为几乎所有n返回正确的结果，其结果可以精确地表示为double。然而，这些并不多。 double通常只有53位的精度，因此只有小于2 ⁵³的斐波那契数可以精确地表示为double（加上一些可以被足够高整除的较大值）权力2）。最后一个小于2 ⁵³的Fibonacci数是F（77），但是F（78）可以被8整除，因此也可以精确地表示为具有53位精度的double。但是，上面只为n <= 70产生了正确的结果，从71开始，舍入误差太大（顺便说一下，使用doubles的Binet公式的结果总是太大，所以使用{{ 1}}而不是floor也会为F（71）产生正确的结果，但是没有进一步的。）

对于标准数据类型，没有多少斐波纳契数是完全可表示的，最后一个适合（无符号）64位类型的是F（93）;对于128位，最后一位是F（186）。对于如此小的指数，实际上没有什么可以通过直接的迭代算法获得

round

除非您使用查找表

unsigned long long fibonacci(unsigned int n)
{
    unsigned long long a = 0, b = 1;
    for(; n > 0; --n)
    {
        b += a;
        a = b-a;
    }
    return a;
}

为了获得准确的结果，必须将√5（和/或φ）视为符号常数，并使用它来评估公式。这相当于评估环中的公式

static const unsigned long long fibs[94] = { 0, 1, 1, 2, ... , 12200160415121876738ull };

使用

ℤ[φ] = { a + b*φ : a, b ∈ ℤ }

这一事实，ℚ(√5)中的代数整数

。相当于Binet的公式是

φ² = 1 + φ

可用于通过O（log n）步骤中的重复平方来有效地计算Fibonacci数（但请注意F（n）具有Θ（n）位，因此位操作的数量不能低于O （N））。比香草重复平方使用

更高效的版本

φ^n = F(n-1) + φ*F(n)

使用φ^(2n) = (φ^n)² = (F(n-1) + φ*F(n))² = F(n-1)² + φ*2*F(n-1)*F(n) + φ²*F(n)² = (F(n-1)² + F(n)²) + φ*(2*F(n-1)*F(n) + F(n)²)查找F(2n) = 2*F(n)*F(n-1) + F(n)² = 2*F(n)*F(n+1) - F(n)² = F(n)*(F(n+1) + F(n-1))和F(2n+1) = F(n)² + F(n+1)²。这些公式允许从F（n）和F（n + 1）计算F（2n），F（2n + 1）和F（2n + 2），每个数最多两次乘法和两次加法/减法，这给出了在O（log n）步骤中计算对φ² = 1 + φ的算法，只有两个数作为状态（vanilla重复平方使用四个数作为状态，需要多一些乘法）。

迭代的从左到右算法

(F(n),F(n+1))

使用任意精度类型而不是unsigned long long fib(unsigned int n){ if (n == 0) return 0; unsigned int h = n/2, mask = 1; // find highest set bit in n, can be done better while(mask <= h) mask <<= 1; mask >>= 1; unsigned long long a = 1, b = 1, c; // a = F(k), b = F(k+1), k = 1 initially while(mask) { c = a*a+b*b; // F(2k+1) if (n&mask) { b = b*(b+2*a); // F(2k+2) a = c; // F(2k+1) } else { a = a*(2*b-a); // F(2k) b = c; // F(2k+1) } mask >>= 1; } return a; }，可以快速计算大的Fibonacci数。但是当然任意精度库通常都带有自己优化的Fibonacci函数，因此自己实现它是没有意义的。

Answer 2

通常，浮点数和双打数不能准确表示数字。它们的目的是在很大范围内表示实数。如果您确实需要无限精度，可以尝试查看http://gmplib.org/

Answer 3

您是否尝试过包含<cmath>而不是<math.h>，math.h可能没有像C一样的sqrt的重载版本

在C ++中准确计算Fibonacci数？

3 个答案: