二阶ODE未确定系数

Question

这个等式是否可以解决？如何？

y“= Ay + B

A和B是（实际）常数。我尝试做不确定的系数，但它对我没有用。均匀的部分很容易。

感谢。

Answer 1

您可以先假设您的解决方案具有

形式

    y(x) = M*exp(sqrt(A)*x) + N*exp(-sqrt(A)*x) + C

因为指数部分是齐次方程的解。

现在我们可以将它替换回我们的微分方程并尝试求解C.

    y" = M*A*exp(sqrt(A)*x) + N*A*exp(-sqrt(A)*x)
    M*A*exp(sqrt(A)*x) + N*A*exp(-sqrt(A)*x) = 
        A*(M*exp(sqrt(A)*x) + N*exp(-sqrt(A)*x) + C) + B
    0 = A*C + B
    C = -B/A.

因此：

    y = M*exp(sqrt(A)*x) + N*exp(-sqrt(A)*x) - B/A.

这个例子有效，因为它只是一个常数被加到我们的方程中，但是一旦你得到相应的齐次方程的解，其他非齐次微分方程仍然可以使用Green's function求解。