找到{E1，... En}（E1 + E2 + .. En = N，N给出），具有E1 * E2 * .. En为最大值的以下属性

Question

给定数字N，编写一个程序，用以下属性计算数字E1，E2，...... En：

1）N = E1 + E2 + ... + En;
2）E1 * E2 * ... En最大 3）E1..En，是整数。没有负面价值:)）

你会怎么做？我有一个基于divide et impera的解决方案，但我想检查一下是否是最佳的。

Example: N=10

5,5        S=10,P=25
3,2,3,2    S=10,P=36

Answer 1

不需要算法，数学直觉可以独立完成：

步骤1：证明数字大于3的结果集最多只有3和2的结果集

如果结果集中有任何数字 x ，可以考虑将它分成两个数字是否更好。

总和应该仍然是 x 。

• 当 x 为偶数时， t （ x - t ）的最大值在 t = x / 2，除特殊情况 x = 2外，它大于 x ，并且对于特殊情况 x = 4，等于x（见注1）。
• 当 x 为奇数时， t （ x - t ）的最大值在 t =（ x ±1）/ 2。

这表明了什么？只有你在最后一组中应该只有3和2，否则它不是最理想的（或等同于最佳组合）。

第2步：你应该拥有尽可能多的3个

现在，如3²＆gt; 2³，只要余数不是1，你就应该有尽可能多的3。

结论：对于每个N＆gt; = 3：

• 如果N = 0 mod 3，则结果集仅为3
• 如果N = 1 mod 3，则结果集有一对2（或4），其余为3
• 如果N = 2 mod 3，则结果集为1，其余为3

请更正这篇文章。我编写结构良好的数学证明的时间很远......

注1：（2,4）是唯一一对不同的整数，使得x ^ y = y ^ x。您可以通过以下方式证明：

x^y = y^x
y ln(x) = x ln(y)
ln(x)/x = ln(y) / y

并且函数ln(t)/t在其全局最大值之后严格减小，达到2到3之间，因此如果您想要两个不同的整数，例如ln(x)/x = ln(y)/y，则其中一个必须小于或等于2从中您可以推断出只有（2,4）有效

Answer 2

这不是一个完整的解决方案，但可能有所帮助。

首先请注意，如果您修复n，并且E_i和E_j中的两个术语相差多于一个（例如3和8），那么您可以通过＆＃34;均衡＆＃34;尽可能多地使用它们，即，如果数字p = E_i + E_j是偶数，那么你用两个项更好地用p / 2表示。如果p为奇数，则用p / 2和p / 2 + 1（其中/是整数除法）替换它们会做得更好。

那就是说，那么如果你知道什么是最佳数量的n，那么，你就完成了：让所有E_i等于N / n和N / n + 1（再次整数除法） ），这样他们的总和仍然是N（现在这是一个直截了当的问题）。

现在的问题是什么是最优的n。假设您被允许使用实数。然后，对于每个术语，解决方案将是N / n，您可以将产品编写为（N / n）^ n。如果你将它与n区分开并找到它的根，你会发现n应该等于N / e（其中e是Neper数，也称为Euler数，e = 2.71828 ....）。因此，我寻找一个解决方案，其中n = floor（N / e）或n = floor（N / e）+1，然后选择所有E_i等于N / n或N / n + 1，如上所述。

希望有所帮助。

Answer 3

整数序列的在线Encycolpedia为此问题的解决方案提供了recurrence relation。

我会把它留给其他人来比较复杂性。不确定我能否弄清楚OP方法的复杂性。