考虑数学运算的非恒定时间复杂度（大数）

Question

鉴于伪代码：

e = 1
sum = 1
for i=2 upto n
  e *= 10
  sum += i * e

做指数起诉乘法，因为它更快。假设n可以是10 ^ 1000或更大，你会如何获得这样的大O符号。

当然它将至少达到O（n），但乘法和加法会增加多少复杂性。再次，有大量的数字。

我目前正在Ruby中这样做。我认为每种语言都有不同的实现数学运算的方式，所以通用的解决方案很好。

Answer 1

为了使用n大到10 ^ 1000，你肯定需要使用 BigNumber 实现进行算术运算。

由于您正在使用算术运算的软件实现，这意味着它们的时间复杂度可能取决于您正在使用的数字的大小（位数）。在添加的情况下，复杂性可能是线性的，对于乘法，它将是二次的或在任何情况下都是超线性的。

在这种情况下，您所要做的就是将复杂性插入到上面的算法中，以获得组合的复杂性。

例如，如果你有：

for i = 2 to n
   <multiplication operation>

假设乘法是n的大小（位数）的二次方，那么O(mult) = (log n) ^ 2。然后for循环的大哦复杂性将是：

n * O(mult) = O(n * ((log n) ^ 2))

在您的示例中，for循环包含三个可能“昂贵”的操作：

for i = 2 to n
   e *= 10          //   e = e * 10
   sum += i * e     //   sum = sum + i * e

在上文中，昂贵的操作包括：mult1: e*10，mult2: i * e和add: sum + (result of i*e)

它们的综合复杂性将是O(mult1 + mult2 + sum)，它将取三个中最大的值。在这种情况下，绝对是mult2

因此，如果你可以在乘法运算上获得一个界限，那么总和就是复杂性，如上所述：n * O(mult)，假设数字大小的二次实现，将会是转换为：O（n * log（n））

至于估计arithemetic操作的运行时特性，here's a nice table from Wikipedia of different algorithms for basic arithmetic operations。