Question

我正在研究一个问题，在这个问题上我应该采用xor 数组中的所有整数对，然后找到K最小的 xor'ing生成的整数。阵列的大小可以是N = 100000 因此K可能非常大但仅限于250000。

例如，如果N = 5且K = 4，

我们的数组是{1 3 2 4 2}

xoring（1和3,1-2,1-4,1-2,3-2,3-4,3-2等）产生的数字

3 3 2 5 0 1 6 1 6 7

由于K = 4，我们必须打印4个最小的整数。所以答案是0 1 1 2。

由于时间限制为2秒且非常紧，使用蛮力方法 xoring所有数字都会超时。我的做法是错误的，所以我需要救命。可能是我们可以利用K = 250000的限制，并想知道它是否可以得到K个最小的数字，而不用整理所有整数。

Answer 1

(x ^ y) == (x | y) - (x & y) >= |y - x|

按顺序对数字进行排序将是一个开始，因为这些对之间的差异将为您提供xor的下限，因此是何时停止寻找数字xor x的截止点。

还有一条快捷方式可以查找xor小于（例如）2的幂的数字对，因为您只对x＆lt; = y＆lt; = x |感兴趣（2 ^ N - 1）。如果这没有给你足够的配对，请增加N并再试一次。

编辑：您当然可以通过使用x |排除已经找到的xor小于之前2的幂的数字对。（2 ^（N-1）-1）＆lt; y＆lt; = x | （2 ^ N） - 1。

基于（已排序）[1,2,2,3,4]

的示例

首先查找xor小于1的数字对：对于每个数字x，搜索后续数字y = x。这给出了{2,2}。

如果您需要多对，请查找xor小于2但不小于1的数字对：对于每个数字x，搜索数字x＆lt; y＆lt; = x | 1.这给出了{2,3}（两次）。

请注意，最终的xor值并未完全排序，但每个批次都严格小于上一批次。

如果您需要更多，请查找xor小于4但不小于2的数字对：对于每个数字x，搜索数字x | 1＆lt; y＆lt; = x |这给出了{1,2}（两次）; {1,3}。

如果您需要更多，请查找xor小于8但不小于4的数字对：对于每个数字x，搜索数字x | 3＆lt; y＆lt; = x |这给出了{1,4}; {2,4}（两次）; {3,4}。

Answer 2

请注意，如果数字bit n和x的{{1}}（从右侧开始）左侧的所有位相等，则y≤2^ñ -1

x = 0000000000100110
y = 0000000000110010
               ^Everything to the left of bit 5 is equal
                so x xor y ≤ 2⁵-1 = 31

这可以通过将每个数字存储在bitwise-trie中来利用 - 也就是说，每个边都是x xor y或0的特里。然后1≤2^d（x，y） -1，其中x xor y是我们需要向上移动以找到{{的最小共同祖先'的步数1}}和d(x,y)。

                             root
                        (left-most bit)
                              0
                             /
                            0
                           /
                          ...
                          1
                         / \
                        0   1
                       /   /
                      0   0
                    ... ...
                    /   /
                   0   0
                   x   y

x and y share an ancestor-node that is 5 levels up, so d(x,y) is 5

一旦你拥有了trie，很容易找到所有对x - 只需导航到叶子上方1级的所有节点，并将每个节点的子节点相互比较。这些值将为您提供最大y 2 ¹ -1 = 1。

如果您仍然没有d(x,y) = 1值，则向上移动到叶子上方2级的所有节点，并将每个节点的孙子彼此进行比较^†。这些值将为您提供最大x xor y 2 ² -1 = 3。

^† （实际上，您只需将左子树中的每个叶子与右子树中的每个叶子进行比较，因为给定了每个叶子中的每个叶子子树已经相互比较了）

继续此操作，直到检查给定级别的所有节点后，您的k值至少为x xor y。然后对该值列表进行排序，并取k最小值。

当x xor y很小（＆lt;＆lt; n ²）时，此算法 O（n）。对于大k，它是 O（2 ^b n），其中 b 是每个整数的位数 （假设重复次数不多）。

Answer 3

我会首先对整数的输入数组进行排序。然后，具有最小xor值的对将彼此相邻（但不是所有相邻对将具有最小的xor值）。您可以从相邻的对开始，然后向外工作，检查对（N，N + 2），（N，N + 3），直到达到所需的K个最小结果列表。

对于样本数组{1 3 2 4 2}，排序数组为{1 2 2 3 4}，成对xor值为：

1 xor 2 = 3
2 xor 2 = 0
2 xor 3 = 1
3 xor 4 = 7

下一步，

1 xor 2 = 3
2 xor 3 = 1
2 xor 4 = 6

再次，

1 xor 3 = 2
2 xor 4 = 6

最后，

1 xor 4 = 5

这个想法并不完整，但您应该能够使用它来帮助构建完整的解决方案。

从列表中查找具有最小XOR值的对

3 个答案: