一种从有向图计算线图的有效算法

Question

有没有人知道从有向图计算线图的有效算法？请参阅http://en.wikipedia.org/wiki/Line_graph（维基百科文章提到底部附近的有向图案例（在“推广”部分中）。理想情况下，我想在线性时间内完成此操作。

从该部分开始：

• 如果G是有向图，则其有向折线图或折线图对于G的每个边都有一个顶点。
• 当v = w时，表示从u到v以及从w到x的g的有向边的两个顶点通过ura的边连接到线图中的wx。

设G是有向图 设L（G）为有向线图

我给出的算法可以产生给定G的L（G）：

• 遍历G的所有边缘以生成L（G）
的节点
• 遍历L（G）中的所有节点对（uv，wx），如果v = w
则连接

这是一个O（n ^ 2）算法。

似乎应该有一种方法可以将其降低到O（n）时间。我要考虑这个，但我想我会问堆栈溢出，以防万一有一些我不知道的着名（或不那么着名）的算法。

Answer 1

嗯......我认为在经过一些考虑之后可能会有一个更节省时间的算法...但是这需要相当数量的簿记和一大块额外的内存来实现。

我的基本想法是，您遍历G中的所有节点，并从连接到每个节点的边创建连接的节点。通过额外的链接来跟踪G（边缘）到L（G）（节点），您可以通过G上的节点只通过一个循环逃脱。

Answer 2

你不能从O（n ^ 2）开始，因为有一些带有线性图的图形，其边缘的基数等于原始顶点的基数的平方：想想，对于例如，在具有n + 1个顶点的图形中，单个顶点连接到其他所有顶点：然后您需要构建一个包含n个顶点的clique，因此使用（n-1）^ 2个边。

算法的复杂性从底部受到它产生的输出大小的限制。

当然，这并不意味着我们不必找到智能算法。我想到了这一点：

LG(LN,LE) getLinearGraph(G(N,E)) {
  LN = EmptySet();
  LE = EmptySet();
  for (Vertex v : N) {
    verticesToAdd = EmptySet()
    for (Vertex i : out-degree(v) {
      toAdd += textual-rep((v,i));
    }
    LN += toAdd;
    LE += make-clique(toAdd);
  }
}