Question

执行取幂的最快算法是什么？为简单起见，我们假设自然数字基数和指数。

高效的数学库会用什么？

（当我搜索它时，我只得到与指数时间内运行的算法相关的结果。）

Answer 1

上述所有二进制方法的问题在于它们仅限于整数。如果通过＆＃34;指数＆＃34;你的意思是计算e ^ x函数，我看到的最好的是快速收敛的幂级数，以及在有限范围内有效的多项式，有理或Pade近似。

有一件事是肯定的：如果你发现e ^ x到96位小数点的闪电般快速算法，你也会发现一种更快的计算日志的方法（由Newton-Raphson提供）。实际上，Newton-Raphson以二次方式收敛，因此每次迭代时，日志中精度的位数加倍。这是加州大学洛杉矶分校Nate Grossman在Forth时代的最爱。

回到四手计算器的时代，我习惯使用e ^ x =（1 + x / 1024）^ 10。当然，对于x非常大或非常小的分解，但你可以看到它的工作原理。如果你有一个平方根按钮，你可以改变这个想法来获得对数。但是你不需要指数函数的平方根。

我想知道AGM算法是否有一些可以做指数函数的反演...嗯......

Answer 2

对于小指数，Python使用二进制求幂（一种通过平方求幂），如http://svn.python.org/view/python/trunk/Objects/longobject.c?view=markup&pathrev=65518的第2874行所示

对于较大的指数，它使用2 ^ 5-ary取幂（通过平方取代的另一种取幂）。

如果您只关心结果的最高位数，那么您可以非常快速地计算x ^ y = exp（y * log（x））。

如果您只关心结果的最低有效位（例如编程竞赛），那么您可以计算模数为M的指数。例如，Python命令pow（x，y，1000）将计算x的最后3位数到y的幂。它通过平方方法取幂来做到这一点，但请注意，这可能比计算完整结果快得多，因为它确保中间数永远不会大于M.

作为一个额外的转折（如果你只对最不重要的数字感兴趣），你可以使用欧拉定理http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_theorem来减小指数的大小。

Answer 3

如果你有一个给定的自然数u和一个给定的输入m，为了计算u ^ m你可以应用以下算法

q = m;
prod = 1;
current = u;
while q > 0 do
     if (q mod 2) = 1 then // detects the 1s in the binary expression of m
          prod = current * prod; // picks up the relevant power
          q--;
     endif
current = current * current; // u^i -> u^(2*i)
q = q div 2
enddo

output = prod;

所以基本上如果你有，让我们说，你^ 23 你将23转换为二进制 - ＆gt; 10111（基数2）然后你得到u ^ 23 = u ^ 16 * u ^ 4 * u ^ 2 * u ^ 1（没有u ^ 8，因为从左到右的2位数是0）

如果你认为n是log（m）_10 + 1

，复杂度是O（log（m））或O（n）

执行取幂的最快算法是什么？

3 个答案: