Question

有人可以向我解释这个问题的解决方案吗？

假设您有一系列 n 元素要进行排序。输入序列由 n = k 子序列组成，每个子序列包含 k 元素。给定的元素子序列都小于后续子序列中的元素大于前一个子序列中的元素。因此，所需要的一切对整个 n 长度序列进行排序是为了对每个 n = k 中的 k 元素进行排序序列。在比较次数上显示 n lg k 下限需要解决这种排序问题的变种。

解决方案：

让 S 成为 n 元素的序列，分为 n / k 子序列，每个子序列的长度 k 其中任何子序列中的所有元素都大于所有元素前面的子序列，并且小于后续的所有元素亚序列。

权利要求

用于排序 S 的任何基于比较的排序算法必须在（n lg k）时间内最坏的情况。

证明

首先注意到，正如提示中指出的那样，我们无法证明更低通过将下限相乘来对每个子序列进行排序。这只能证明没有更快的算法来对子序列进行排序独立。这不是我们要求证明的;我们不能介绍任何额外的假设。

现在，考虑高度为h的决策树，用于S的任何比较排序每个子序列的元素可以是任何顺序，任何 k！排列对应于子序列的最终排序顺序。并且，因为有 n / k 这样的子序列，每个子序列可以按任何顺序排列，有（k！）^ n / k 排列 S可以对应于某些输入顺序的排序。因此，任何决定用于排序S的树必须至少具有（k！）^ n / k 叶。由于高度 h 的二叉树不超过 2 ^ h 叶子，我们必须 2 ^h≥（k！）^（n / k）或h≥lg（（k）！）^ N / K）。我们因此获得

     h ≥ lg((k!)^n/k)          -- unbalanced parens - final one added?
       = (n/k) lg(k!)
       ≥ (n/k) lg((k/2)^k/2)
       = (n/2) lg(k/2)

第三行来自 k！，其 k / 2 最大术语各自至少 k / 2 。（我们在这里隐含地假设k是偶数。我们可以调整地板和天花板如果 k 是奇数。）

由于在任何决策树中存在至少一个用于排序具有长度的S的路径至少（n / 2）lg（k / 2），任何基于比较的排序的最坏情况运行时间 S的算法是（n lg k）。

有人可以引导我完成代码块中的步骤吗？特别是 lg k！的步骤变为 lg（（k / 2）^ k / 2）。

Answer 1

我转载了以下数学：

（1）h≥lg（k！^{n / k}）

（2）=（n / k）lg（k！）

（3）≥（n / k）lg（（k / 2）^{k / 2}）

（4）=（n / 2）lg（k / 2）

让我们来看看这个。从第（1）行到第（2）行使用对数的属性。类似地，从第（3）行到第（4）行使用对数的性质和（n / k）（k / 2）=（n / 2）的事实。因此，技巧步骤是从第（2）行到第（3）行。

此处的声明如下：

对于所有k，k！ ≥（k / 2）^{（k / 2）}

直观地说，这个想法如下。考虑k！ = k（k-1）（k-2）...（2）（1）。如果您注意到，这些术语中有一半大于k / 2，其中一半较小。如果我们删除所有小于k的项，我们得到的东西（接近）如下：

ķ！ ≥k（k - 1）（k - 2）...（k / 2）

现在，我们有k /2≥k，所以我们有

ķ！ ≥k（k - 1）（k - 2）...（k / 2）≥（k / 2）（k / 2）...（k / 2）

这是（k / 2）与其自身（k / 2）次的乘积，因此它等于（k / 2）^{k / 2}。这个数学不精确，因为奇数和偶数值的逻辑有点不同，但基本上使用这个想法你会得到早期结果证明的草图。

总结：从（1）到（2）和从（3）到（4）使用对数的属性，从（2）到（3）使用上述结果。

希望这有帮助！

比较排序 - 理论

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