Question

我使用最小二乘法将平面拟合到3D点集。我已经有算法来做到这一点，但我想修改它以使用加权最小二乘法。意思是每个点都有一个重量（重量越大，平面越接近该点）。

当前算法（没有重量）如下所示：

计算总和：

for(Point3D p3d : pointCloud) {
    pos = p3d.getPosition();
    fSumX += pos[0];
    fSumY += pos[1];
    fSumZ += pos[2];
    fSumXX += pos[0]*pos[0];
    fSumXY += pos[0]*pos[1];
    fSumXZ += pos[0]*pos[2];
    fSumYY += pos[1]*pos[1];
    fSumYZ += pos[1]*pos[2];
}

制作矩阵：

double[][] A = {
    {fSumXX, fSumXY, fSumX},
    {fSumXY, fSumYY, fSumY},
    {fSumX,  fSumY,  pointCloud.size()}
};

double[][] B =  {
    {fSumXZ},
    {fSumYZ},
    {fSumZ}
};

解决Ax = B，解的3个分量是拟合平面的系数...

那么，你能帮助我如何修改它来使用权重吗？谢谢！

Answer 1

<强>直觉

由普通x定义的平面上的点n和平面p上的点服从：n.(x - p) = 0。如果点y不在平面上，n.(y -p)将不等于零，因此定义成本的有用方法是|n.(y - p)|^2。这是点y与平面的平方距离。

如果权重相等，您希望找到n，以便在对点进行求和时最小化总平方误差：

f(n) = sum_i | n.(x_i - p) |^2

现在假设我们知道位于飞机上的某些点p。我们可以很容易地计算出一个质心，它只是点云中点的分量均值，并且总是位于最小二乘平面中。

<强>解决方案

让我们定义一个矩阵M，其中每一行是ith点x_i减去质心c，我们可以重写：

f(n) = | M n |^2

你应该能够说服自己这个矩阵乘法版本与前一个等式的总和相同。

然后，您可以M n M，然后w_i给出c所需的sum_i | n.(x_i - c) |^2，它对应于最小的奇异值。

要合并权重，您只需为每个点定义权重sum_i | w_i * n.(x_i - c) |^2。将M计算为点的加权平均值，并以类似的方式将{{1}}更改为{{1}}，将矩阵{{1}}更改为{{1}}。然后像以前一样解决。

Answer 2

将每个总和中的每个项乘以相应的权重。例如：

fSumZ += weight * pos[2];
fSumXX += weight * pos[0]*pos[0];

由于pointCloude.size()是所有点的1的总和，因此应将其替换为所有权重的总和。

Answer 3

从重新定义最小二乘误差计算开始。该公式试图最小化误差平方和。将平方误差乘以两个点的函数，这两个点随距离减小。然后尝试最小化平方误差的加权和并从中导出系数。

加权最小二乘法 - 将平面拟合到三维点集

3 个答案: