通过QR分解，SVD（和Cholesky分解？）计算投影/帽子矩阵

Question

我正在尝试在R中计算任意N x J矩阵P的投影矩阵S：

P = S (S'S) ^ -1 S'

我一直在尝试使用以下功能执行此操作：

P <- function(S){
  output <- S %*% solve(t(S) %*% S) %*% t(S)
  return(output)
}

但是当我使用它时，我会得到如下错误：

# Error in solve.default(t(S) %*% S, t(S), tol = 1e-07) : 
#  system is computationally singular: reciprocal condition number = 2.26005e-28

我认为这是数字下溢和/或不稳定的结果，如r-help和here等众多地方所讨论，但我没有足够的经验使用SVD或QR分解来修复问题，或者将现有的代码付诸实践。我也尝试过建议的代码，即将solve写成一个系统：

output <- S %*% solve (t(S) %*% S, t(S), tol=1e-7)

但它仍然不起作用。任何建议将不胜感激。

我很确定我的矩阵应该是可逆的并且没有任何共线性，只是因为我尝试使用正交虚拟变量矩阵进行测试，但它仍然不起作用。

另外，我想将它应用于相当大的矩阵，所以我正在寻找一个简洁的通用解决方案。

Answer 1

虽然OP已经活动了一年多，但我仍然决定发布答案。我会使用X代替S，因为在统计数据中，我们经常需要线性回归上下文中的投影矩阵，其中X是模型矩阵，y是响应向量，H = X(X'X)^{-1}X'是帽子/投影矩阵，因此Hy给出了预测值。

这个答案假设普通最小二乘的背景。对于加权最小二乘，请参阅Get hat matrix from QR decomposition for weighted least square regression。

概述

solve基于一般方阵的LU分解。对于X'X（应由crossprod(X)计算，而不是{R}中的t(X) %*% X，请阅读?crossprod以获取更多信息）这是对称的，我们可以使用基于chol2inv的{​​{1}}关于Choleksy分解。

然而，三角分解比QR分解更不稳定。这不难理解。如果X具有条件数kappa，则X'X将具有条件数kappa ^ 2。这可能导致很大的数值困难。您收到的错误消息：

# system is computationally singular: reciprocal condition number = 2.26005e-28

只是告诉了这一点。 kappa ^ 2约为e-28，比e-16左右的机器精度小得多。容差tol = .Machine$double.eps，X'X将被视为排名不足，因此LU和Cholesky因子分解将会崩溃。

一般情况下，我们在这种情况下切换到SVD或QR，但转动 Cholesky分解是另一种选择。

• SVD是最稳定的方法，但太贵了;
• QR是令人满意的稳定，计算成本适中，并且通常在实践中使用;
• 透视Cholesky速度快，稳定性可接受。对于大型基质，这是优选的。

在下文中，我将解释所有三种方法。

使用QR分解

请注意，投影矩阵与排列无关，即无论是否进行旋转，我们是否执行QR分解都无关紧要。

在R中，qr.default可以调用LINPACK例程DQRDC进行非旋转QR分解，并使用LAPACK例程DGEQP3进行块旋转QR分解。让我们生成玩具矩阵并测试两个选项：

set.seed(0); X <- matrix(rnorm(50), 10, 5)
qr_linpack <- qr.default(X)
qr_lapack <- qr.default(X, LAPACK = TRUE)

str(qr_linpack)
# List of 4
# $ qr   : num [1:10, 1:5] -3.79 -0.0861 0.3509 0.3357 0.1094 ...
# $ rank : int 5
# $ qraux: num [1:5] 1.33 1.37 1.03 1.01 1.15
# $ pivot: int [1:5] 1 2 3 4 5
# - attr(*, "class")= chr "qr"

str(qr_lapack)
# List of 4
# $ qr   : num [1:10, 1:5] -3.79 -0.0646 0.2632 0.2518 0.0821 ...
# $ rank : int 5
# $ qraux: num [1:5] 1.33 1.21 1.56 1.36 1.09
# $ pivot: int [1:5] 1 5 2 4 3
# - attr(*, "useLAPACK")= logi TRUE
# - attr(*, "class")= chr "qr"

注意$pivot对于两个对象是不同的。

现在，我们定义一个包装函数来计算QQ'：

f <- function (QR) {
  ## thin Q-factor
  Q <- qr.qy(QR, diag(1, nrow = nrow(QR$qr), ncol = QR$rank))
  ## QQ'
  tcrossprod(Q)
  }

我们会看到qr_linpack和qr_lapack给出相同的投影矩阵：

H1 <- f(qr_linpack)
H2 <- f(qr_lapack)

mean(abs(H1 - H2))
# [1] 9.530571e-17

使用奇异值分解

在R中，svd计算奇异值分解。我们仍然使用上面的示例矩阵X：

SVD <- svd(X)

str(SVD)
# List of 3
# $ d: num [1:5] 4.321 3.667 2.158 1.904 0.876
# $ u: num [1:10, 1:5] -0.4108 -0.0646 -0.2643 -0.1734 0.1007 ...
# $ v: num [1:5, 1:5] -0.766 0.164 0.176 0.383 -0.457 ...

H3 <- tcrossprod(SVD$u)

mean(abs(H1 - H3))
# [1] 1.311668e-16

同样，我们得到相同的投影矩阵。

使用透视Cholesky分解

为了演示，我们仍然使用上面的示例X。

## pivoted Chol for `X'X`; we want lower triangular factor `L = R'`:
## we also suppress possible rank-deficient warnings (no harm at all!)
L <- t(suppressWarnings(chol(crossprod(X), pivot = TRUE)))

str(L)
# num [1:5, 1:5] 3.79 0.552 -0.82 -1.179 -0.182 ...
# - attr(*, "pivot")= int [1:5] 1 5 2 4 3
# - attr(*, "rank")= int 5

## compute `Q'`
r <- attr(L, "rank")
piv <- attr(L, "pivot")
Qt <- forwardsolve(L, t(X[, piv]), r)

## P = QQ'
H4 <- crossprod(Qt)

## compare
mean(abs(H1 - H4))
# [1] 6.983997e-17

同样，我们得到相同的投影矩阵。