如何在O（logn）时间内找到5个排序列表的中位数？

Question

以下是问题：

有5个排序列表A，B，C，D，E，它们具有相同的长度n。问题是找到一个算法，该算法可以在O（logn）时间内对这5个列表进行中值。我正在考虑一个大致的想法，但我无法弄清楚它需要的确切复杂性。

假设A，B，C，D，E的中位数是a，b，c，d，e。我们有a<b<c<d<e。很明显，我可以扔掉阵列A的前半部分和阵列E的后半部分。现在我有5个新阵列：B，C，D保持不变，每个都有n个数字; A'和E'每个都有n / 2个数字。然后我将A'和E'的中位数计算为'和e'，将它们与b，c，d进行比较。如果5个中位数的新顺序为a'<b<e'<c<d，那么我将通过'（n / 4个数字）的前半部分和数组D的最后n / 4个数，因为我们需要丢弃相同的数字最终中位数的两边。这个过程继续......

我有种感觉算法是O（logn）。但我不知道确切的证据。在第一个登录步骤中，我们肯定可以将候选数字减少到3n，将5个列表中的所有剩余数字相加。我们第一次踢出n个数字，第二次至少有n / 2个数字，第三次是n / 4个数字，依此类推。但是，在我得到3n个剩余数字后，我不知道如何分析。

这个算法能不能给我O（logn）？

Answer 1

是的，它实际上可以。看看那些陈述

• 只有我们有一个清单才能得到最终结果。除非我们至少有两个清单，否则我们不能谈论这个。
• 算法的每一步我们都减少了两半的列表。如果列表中只有一个元素，我们将删除整个列表。
• 让我们算一下，删除列表需要多少步骤。在我们最终删除列表时，在第一次删除时，我们将删除n / 2个项目，第二个 - n / 4，依此类推，直到剩下一个元素。这将需要log（n）操作（不知道它是真的log（n）还是log（n）+1，但在两种情况下它都是O（log（n）））。
• 因此，我们需要消除5个列表（在最后列表中查找中值的操作可以推广到减少列表的操作）。需要O（log（n））来消除其中一个，所以我们也会在O（log（n））中做所有的事情，因为5是常数。