Question

我想知道如何在二进制中实现IEEE-754 32位单精度浮点除法，没有除法硬件和没有浮点硬件？

我有移动硬件，加，减和乘法。

我已经使用16位字实现了浮点乘法，加法和减法。

我在专有的多核处理器上实现这些指令，并在汇编中编写代码。事先，我使用matlab来验证我的算法。

我知道我需要减去指数，但我如何在尾数上执行无符号除法？

Answer 1

取决于你想要的复杂程度。保持相当简单，你可以通过倒数近似来尝试除法。

而不是计算：（n / d）你可以解决：n *（1 / d）。

要做到这一点，你需要使用某种方法来计算倒数，例如，Newton-Raphson使用牛顿方法连续计算除数的倒数的更准确估计值，直到它“足够”准确为止。在进行最后的乘法步骤之前你的目的。

修改

刚看到你的更新。毕竟这可能对你有用，也可能不对你有用！

Answer 2

如果您的硬件具有足够快的整数乘数（比如4-5个周期），则使用迭代方法计算recip = 1 / divisor可能是最快的方法。然后，您将计算商数为dividend * recip。如果硬件提供具有双倍宽度结果的整数乘法（即完整乘积）或提供两个32位整数乘积的高32位的“mulhi”指令，则对于必要的定点计算非常有用。

您需要动态地重新定标定点计算，以便在中间结果中保留接近32位，以获得精确到舍入后最终结果所需的24位的结果。

最快的方法可能是产生一个9位的起始近似值“约”为1 /除数，然后是倒数的立方收敛迭代：

e = 1 - divisor * approx
e = e * e + e
recip = e * approx + approx

最简单的是预先计算起始近似值并将其存储在256字节的数组中，由除数的位23:16（即尾数的8个最高有效小数位）索引。由于所有近似值都是0x100 ... 0x1FF范围内的数字（对应于0.5到0.998046875），因此不需要存储每个值的最高有效位，因为它将为“1”。只需将0x100添加到检索到的表格元素中即可获得初始近似值的最终值。

如果你不能承受256字节的表存储，另一种产生精确到9位的起始近似的方法是3次多项式，它近似为1 /（1 + f），其中f是除数的小数部分尾数，m。由于IEEE-754已知m为[1.0,2.0]，因此f为[0.0,1.0]。

正确的舍入到最近或偶数（如果需要）可以通过除数的初等商的反乘来建立余数，并选择最终商使得剩余最小化。

下面的代码演示了上面讨论的近似原理，使用更简单的倒数情况，根据IEEE-754最近或偶数模式进行适当的舍入，并适当处理特殊情况（零，非正规，无穷大， NaN的）。它假设一个32位IEEE-754单精度浮点数可以从32位无符号整数位传输到32位无符号整数。然后，所有操作都在32位整数上执行。

unsigned int frcp_rn_core (unsigned int z)
{
  unsigned int x, y;
  int sign;
  int expo;

  sign = z & 0x80000000;
  expo = (z >> 23) & 0xff;
  x = expo - 1;
  if (x > 0xfd) {
    /* handle special cases */
    x = z << 1;
    /* zero or small denormal returns infinity of like sign */
    if (x <= 0x00400000) {
      return sign | 0x7f800000;
    }
    /* infinity returns zero of like sign */
    else if (x == 0xff000000) {
      return sign;
    }
    /* convert SNaNs to QNaNs */
    else if (x > 0xff000000) {
      return z | 0x00400000;
    } 
    /* large denormal, normalize it */      
    else {
      y = x < 0x00800000;
      z = x << y;
      expo = expo - y;
    }
  }
  y = z & 0x007fffff;
#if USE_TABLE
  z = 256 + rcp_tab[y >> 15];  /* approx */
#else
  x = y << 3;
  z =                    0xe39ad7a0;
  z = mul_32_hi (x, z) + 0x0154bde4;
  z = mul_32_hi (x, z) + 0xfff87521;
  z = mul_32_hi (x, z) + 0x00001ffa;
  z = z >> 4;
#endif /* USE_TABLE */
  y = y | 0x00800000;
  /* cubically convergent approximation to reciprocal */
  x = (unsigned int)-(int)(y * z); /* x = 1 - arg * approx */
  x = mul_32_hi (x, x) + x;        /* x = x * x + x */
  z = z << 15;
  z = mul_32_hi (x, z) + z;        /* approx = x * approx + approx */
  /* compute result exponent */
  expo = 252 - expo;
  if (expo >= 0) {
    /* result is a normal */
    x = y * z + y;
    z = (expo << 23) + z;
    z = z | sign;
    /* round result */
    if ((int)x <= (int)(y >> 1)) {
      z++;
    }
    return z;
  } 
  /* result is a denormal */
  expo = -expo;
  z = z >> expo;
  x = y * z + y;
  z = z | sign;
  /* round result */
  if ((int)x <= (int)(y >> 1)) {
    z++;
  }
  return z;
}

函数mul_32_high（）是一个占位符，用于特定于机器的操作，它返回两个32位位整数的有符号乘法的高32位。代替机器特定版本的半便携式实现是

/* 32-bit int, 64-bit long long int */
int mul_32_hi (int a, int b)
{
  return (int)(unsigned int)(((unsigned long long)(((long long)a)*b)) >> 32);
}

基于表的变体使用的256项互易表可以构造如下：

static unsigned char rcp_tab[256];  
for (int i = 0; i < 256; i++) {
  rcp_tab[i] = (unsigned char)(((1./(1.+((i+.5)/256.)))*512.+.5)-256.);
}

如何实现二进制的浮点除法，没有硬件和没有浮点硬件

2 个答案: