MATLAB中的双积分

Question

我试图从高斯光束中找到光圈中的光焦度，光圈偏离光束中心。解决方案是以下等式（reference）（抱歉，这里没有LaTeX）：

Wz 是一个常量，以及 a 和 r 。我不确定如何用MATLAB做这样的事情。有没有人有建议？我知道有一个dblquad()函数，但它假定集成的限制是固定的，而不是相互依赖。

Answer 1

使用一些数学步法，你可以将双积分减少到一个（虽然包含误差函数），这应该更容易在MATLAB中以数字方式计算：

（预留错误;如果可能，请自行检查计算。）

Answer 2

事实证明，更新版本的MATLAB现在具有quad2d()功能，它在表面上执行2d积分。参考页面上的Example 2详细介绍了进行此类集成的示例。

我的代码最终看起来像这样：

powerIntegral = @(x,y) 2/(pi*W^2)*exp(-2*((x - offsetDist).^2 + y.^2)/(W^2)); 
ymin = @(x) -sqrt(radius.^2 - x.^2);
ymax = @(x) sqrt(radius.^2 - x.^2);
powerRatioGaussian = quad2d(powerIntegral,-radius,radius,ymin,ymax);

非常漂亮。谢谢你的帮助。

Answer 3

我不确定，但我认为symbolic toolbox可以帮到你。它适合这种问题。您可以使用 syms 命令将变量定义为符号变量，并以符号方式计算积分。然后，您可以分配变量值并查找实际值。

免责声明：我自己从未实际使用过它。

Answer 4

一般来说，对于数值积分，您可以将具有相关边界条件的积分转换为具有独立边界的积分，方法是，如果您在原始边界内，则乘以1，如果在外部，则为0。然后将您的极限设为包含原始条件的正方形。换句话说，你会乘以

  

g（x，y）=（（x ^ 2 + y ^ 2）＆lt; a ^ 2）

你的限制是-a

你必须对集成方法中的连续性假设有点小心，但除非有些奇怪，否则你应该没事。您可以随时通过更改单元格大小进行检查，并确保计算的积分值不会发生变化。

在这种特殊情况下，您还可以进行从笛卡儿坐标到极坐标的转换;

  

x = rcos（t）

     

y = rsin（t）

     

dxdy = rdrdt

然后你的积分极限将是从0到a和t从0到2 * pi