2-CNF SAT如何在P中，而3-CNF SAT在NPC中？

Question

我真的很困惑为什么2-CNF SAT在P中，而3-CNF SAT在NPC中。我读了CLRS，我理解他们如何证明3-CNF SAT在NPC中。我不能使用从SAT到2-CNF-SAT相同的可还原性来证明2-CNF-SAT在NPC中。我不明白为什么2-CNF SAT在P中。

Answer 1

  

为什么2-CNF SAT在P

因为有一个多项式算法来解决它。

证明的粗略草图：

请注意，2-CNF中的任何子句都采用A => B格式，其中A和B是变量或它们的否定。因此，我们可以告诉该条款说当A为真时，它强制B为真。这也意味着B是虚假的力量A是假的。我们稍后要考虑。

现在，您可以逐个获取变量，并搜索它是否过渡性地强迫自己为负数（A =＆gt; B =＆gt; C =＆gt; ... =＆gt;非A）和副反之亦然（非A => ... =＆gt; A）。如果第一个是真的，A必须是假的;如果第二个，A是真的。如果两者兼而有之，公式是不可满足的。

如果您没有找到任何使公式不可满足的变量，则可以满足。

请注意，这种“野蛮”算法并不是使用图中强连接组件的实际算法，我建议您继续阅读。然而，它是多项式的（搜索一个变量显然是O（N ^ 2），因为你考虑O（N）子句一次强制一个变量，你考虑O（N）变量，这意味着算法是多项式） 。请注意，我们在子句中最多包含两个文字是至关重要的。如果条款是A => B or C或其他内容，则效果不会很好。

Answer 2

从CNF SAT到3-CNF SAT的规范缩减是采用类似lit_1或lit_2或......或lit_n的条款并将其替换为两个子句lit_1或lit_2或......或lit_ {floor（n / 2） ）OR var，lit_ {floor（n / 2）+ 1} OR ... OR lit_n OR NOT var。如果你试图以这种方式破解一个带有三个文字的子句，你将得到另一个带有三个文字的子句，所以相同的证明不适用于2-CNF SAT（并且可能有充分的理由）。