DFA中具有“1”作为右起第5个符号的最小状态数

Question

DFA接受带有'1'作为右边第5个符号的字符串所需的最小状态数是多少？字符串在字母{0,1}上定义。

Answer 1

Myhill-Nerode theorem是解决这些问题的有用工具。

我们的想法是使用“区分扩展”的概念构建一组字符串的等价类。考虑两个字符串x和y。如果存在字符串z 这样，xz和yz中只有一个在语言中，那么z是一个可区别的扩展， x和y必须属于不同的等价类。每个等价类映射到最小DFA中的不同状态。

对于您所描述的语言，让x和y为任意一对不同的5个字符的字符串 超过{0,1}。如果它们在位置n处不同（从右边开始计数，从1开始），则任何长度为5-n的字符串z将是区别扩展：如果x在位置n处具有0， 并且y在位置n处具有1，然后拒绝xz并且接受yz。这给出2 ⁵ = 32 等价类。

如果s是长度为k <1的字符串。 5个字符，它属于同一个等价类 为0 ^（5-k） s（即向左添加0填充，直到它长达5个字符）。

如果s是长度为k的字符串＆gt; 5个字符，其等价类由最后5个字符决定。

因此，{0,1}以上的所有字符串都属于上述32个等价类中的一个，而根据Myhill-Nerode定理，该语言的最小DFA有32个状态。