需要的最小状态数量？

Question

具有字母{ a }的语言 L 的定义如下：

L = {a ^nk | k> 0;并且n是正整数常数}

DFA识别 L 所需的状态数是多少？

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在我看来它应该是k + 1，但我不确定。

Answer 1

语言L可由具有n + 1个状态的DFA识别。

观察到L中任何字符串的长度与0 mod n一致。

标记整数为0,1,2，... n-1的状态的n，表示每个可能的余数。另一个状态S是起始状态。 S具有单个转换，状态1.如果机器当前处于状态i，则在输入时它移动到状态（i + 1）mod n。状态0是 唯一接受的国家。 （如果空字符串是L的一部分，我们可以消除S并使状态0成为开始状态。）

假设存在仍然识别L的少于n + 1个状态的DFA。考虑状态序列S ₀ ，S ₁ ，... S <处理字符串 a ⁿ 时遇到sub> n 。 S _n 必须是接受状态，因为 a ⁿ 在L中。但是由于此DFA中少于n + 1个不同的状态根据鸽笼原则，必须有一些国家至少被访问过两次。删除该循环会产生另一条路径（以及另一条接受的字符串），其长度为＆lt; n，从S ₀ 到S _n 。但是L不包含短于n的字符串，这与我们的假设相矛盾。因此，没有少于n + 1个状态的DFA识别L。