如何计算这个算法的Big O？

Question

我想在下面的算法中计算x++的大O.

for (int i = 2;i < n;i*=2)
    for(int j = i;j < m;j*=j)
       x++;

我想了很多，但我无法解决它。我该如何解决？

Answer 1

显然，外部循环是O（log ₂ （ n ）），因为 i 加倍，每次迭代从2到 n 独家。所以：

  

2 ^x ＆lt; 名词的
  ⇔log ₂ （2 ^x ）＆lt;日志<子> 2 （名词的）
  ⇔ x ＆lt;日志<子> 2 （名词的）

因此它最多需要外部循环的log ₂ （ n ）迭代，直到i < n不再满足为止，因此O（log（名词的））。

内部有点棘手，因为外部循环的 i 的当前值用于初始化内部循环的 j 。此外， j 与每次迭代相乘（即 j ² ）。所以：

  

j ^{2 x} ＆lt; 米
  ⇔日志 _j （ j ^{2 x} ） ＆LT;日志<子> Ĵ （米）
  ⇔2 ^x ＆lt;日志<子> Ĵ （米）
  ⇔log ₂ （2 ^x ）＆lt;日志<子> 2 （日志<子> Ĵ （米））
  ⇔ x ＆lt;日志<子> 2 （日志<子> Ĵ （米））

因此它最多需要log ₂ （log _j （ m ））内循环的迭代直到条件j < m不再满足，因此O（log（ m ）））。如果我们忽略基数，我们可以估算O的总复杂度（log（ n ）·log（log（ m ）））。

Answer 2

O(log(n) * log log(m))内部执行日志记录m次。

Answer 3

我试图以有条不紊的方式推断出算法增长复杂度的顺序。不幸的是，我无法使用j在每次内循环迭代时变化。

尽管如此，我想出了一个具有常数因子k而不是j的公式。

根据我的建议，您的算法应如下所示：

for (int i = 2;i < n;i*=2)
    for(int j = i;j < m;j*=k)
       x++;

解决方案如下：

与此同时，我将尝试找到一个完全符合您最初问题的解决方案。