Question

我有一个重叠间隔的排序列表，间隔从不相互包含，例如，

[(7, 11), (9, 14), (12,  17)]

输出的约束是使每个元素尽可能接近它原点（间隔的中间），保留输入的顺序，并删除所有重叠。只有一个近似解是必要的。示例输入的预期结果是：

[(5,9), (9, 14), (14, 19)]

我只知道某些模拟中的解决方案 style：在自由方向上将每个元素移动一些值迭代直到所有重叠都被删除。

是否有现成的算法来解决这个问题？

Answer 1

找到整体平均值：

在我们的示例中

：

(7 + 11 + 9 + 14 + 12 + 17)/6 = 11.667

找到总长度：

(11-7) + (14-9) + (17-12) = 4 + 5 + 5 = 14;

找到新的min / max;

14/2 = 7
11.667 - 7 = 4.667
11.667 + 7 = 18.667

你可以围绕他们

4.667 ~ 5
18.667 ~ 19

从min开始，按间隔

创建部分

(5, (11-7)+5) = (5,9)
(9, (14-9)+9) = (9,14)
(14, (17-12)+14) = (14,19)

注：

此方法不会使元素尽可能与原始元素保持一致，但会考虑它们的相对值（保留中心）使它们尽可能接近原始值

修改

如果你想让所有区间的平均值尽可能接近原始区间，你可以实现一个数学解决方案。

我们的问题输入是：


a ₁ =（a _1,1，_1,2），...，_{n =（A <子> N，1 ，一个<子> N，2 ）}

我们将定义：


ai ₁ = a _1,2 -a _1,1 //定义间隔

b ₁ =（d，d + ai ₁）

b _n =（d + sum（ai ₁ .. ai _n-1），d + sum（ai ₁ .. ai _n））

bi ₁ = b _1,2 -b _1,1 //定义间隔

我们需要找到一个'd'，例如：


s = sum（abs（（a _1,1 + a _1,2）/ 2 - （b _1,1 + b _1,2）/ 2））

min（s）是我们想要的
在我们的示例中
：


a ₁ =（7,11），ai ₁ = 4，A _avg1 = 9

a ₂ =（9,14），ai ₂ = 5，A _avg2 = 11.5

a ₃ =（12,7），ai ₃ = 5，A _avg3 = 14.5

b ₁ =（d，d + 4）B _avg1 = d + 2

b ₂ =（d + 4，d + 9）B _avg2 = d + 6.5

b ₃ =（d + 9，d + 14）B _avg3 = d + 11.5

s = abs（9-（d + 2））+ abs（11.5-（d + 6.5））+ abs（14.5-（d + 11.5））= abs（7-d）+ abs（5-d ）+ abs（3-d）

现在计算导数以找到min / max OR 迭代d以获得结果。在我们的例子中，你需要从3到7迭代

应该做的伎俩

Answer 2

鉴于解决方案必须是保持顺序的，我们可以将此问题表述为线性程序。设[a _i，b _i]为第i个间隔。设变量x _i是第i个区间的左移，y _i是第i个区间的右移。

最小化和_i（x _i + y _i）
受制于（*）对于所有i：b _i - x _i + y _i≤a_{i + 1} - x _{i + 1} + y _{i + 1}
对于所有i：x _i，y _i≥0

通过引入变量z _i重写约束（*）。

对于所有i：x _i - y _i - x _{i + 1} + y _{i + 1} - z _i = 0
对于所有i：z _i≥b_i - a _{i + 1}

现在问题已经减少到计算minimum-cost circulation，这可以在多时间内完成。但是，我有一种感觉，就是可以更直接地解决这个问题。

图表类似于

        (*)
    ---- | ----
   /    z|     \
  /     i|      \
 /   xi  |  xi+1 \
|/ <---- v <---- \|
...     (*)     ...
   ---->   ---->
    yi     yi+1

移位重叠间隔直到没有重叠的算法

2 个答案: