Question

我对算法理论很感兴趣（来自Cormen）本章中有一个关于二进制尝试的练习，请求：

可以使用min-heap属性打印出n节点的密钥在O（n）时间排序的树？展示如何，或解释原因。

我认为是可能的。
在最小堆中，节点中的元素小于其子节点因此堆的根始终是所有n个元素中较小的元素，并且根的左子节点小于左子树中的所有元素，并且根的右子节点小于所有元素中的所有元素。正确的子树等。

因此，如果我们继续使用root，打印它，然后使用较小的子进程更新root，我们保留min-heap属性，并按排序顺序打印。（我在考虑一个不基于数组的最小堆）。

所以这可以在O（n）时间内完成，因为更新根，我们只是比较2个子节点并将根指针更新为2中的较小者。

但我在解决方案中检查了这一点：
Cormen Supplement Solutions

1）它谈论max-sheaps 2）它说它不能在O（n）时间内完成：

在堆中，节点的密钥是其子密钥。在二进制文件中搜索树，节点的键是它的左子键，但是它的右键孩子的钥匙。堆属性，与binary-searth-tree不同属性，不帮助按排序顺序打印节点，因为它不会告诉节点的哪个子树包含要打印的元素在该节点之前。在堆中，最小元素小于节点可以在任何子树中。请注意，如果堆属性可以用于在O（n）时间内按排序顺序打印键，我们将有一个 O（n）-time算法用于排序，因为只构建堆准时。但我们知道（第8章）必须进行比较（n lg n）时间。

从我的观点来看，我可以理解使用max-heap，无法在O（n）中打印它们。
但是，根据我解释的推理，是不是可以使用min-heap属性来做呢？另外，为什么解决方案会忽略min-heap。是拼写错误还是错误？

我在这里误会了什么吗？

Answer 1

首先，在讨论中遗漏min-sheaps可能不是一个错字，如果我们讨论的是最小堆或最大堆（比较器刚刚反转），这并不重要。

仅提取根然后替换其两个子节点中较小的一个的问题是，不保证左子节点小于右子树中的所有节点（反之亦然）。考虑以下堆

打印1后，您必须重新合并，也就是说您提取1并将其替换为最后一行中的最后一个元素，在本例中为7。然后，只要您需要将堆返回到正确的状态

，就可以切换

take away root and last node to root
        7
       / \
      4   6
     /\   /
    5  8 9

swap
        4
       / \
      7   6
     /\   /
    5  8 9

swap
        4
       / \
      5   6
     /\   /
    7  8 9

所有这些交换都需要花费log n时间。

如果您改为使用4替换根节点，您仍然必须通过左分支重新定义结构，从而增加提取根节点的线性成本的成本。如果堆看起来像这样

我看到形成解决方案的页面

1）Wikipedia: binary heap

2）Wolfram MathWorld: heap这里的堆特别有助于理解为什么它不是线性操作。

Answer 2

考虑最小堆的数组表示。您在根目录中拥有最小值。提取根并将其替换为最后一个数组元素，即最后一个叶子位于叶子的最低不完整“行”中。执行MIN-HEAPIFY操作（与CLRS MAX-HEAPIFY相同，但反向比较）。这需要O（log n），结果是根的第二个最小元素。重复直到堆为空。这给出了一个排序的序列。

因此算法的复杂性

log (n) + log (n-1) + log (n-2) + ... + 1 <= n*log n

即。 O（n * log n）

这是预期的，否则，我们会得到一个基于比较的排序，其复杂度小于O（nlogn），这是不可能的。

Answer 3

我猜你的想法基本上是一堆（考虑一个最小堆），它的根是最小的元素。现在对于第二个最小元素，左右子树都具有最小堆属性，因此我们可以简单地比较左右子节点以找到第二个最小元素。同样可以继续....所以它的O（n）？你忽略的一件事是，每个级别要比较的元素数量也在增加...... 最小的 - 0比较（根是最小的）为第二个最小 - 1比较（左树的根或右树的根）让我们说左树根小于右树根节点。为第三小 - 2比较。（右树的根或左子树的两个子中的任一个）。在计算渐近时间复杂度时，您忽略了这个比较部分。

使用堆属性按照排序顺序打印树（Cormen）

3 个答案: