Question

我在其中一个技能测试系统中发现了下一个编程问题：

给出正整数N.考虑数字序列[0,1，...，N]。这些数字的十进制表示中的零总数是多少？

N可能非常大。因此，它以长度为L的非空字符串S的形式给出，包含N的十进制表示.S不包含前导零。

写一个函数：

int number_of_zeros(char *S); 


int number_of_zeros(const string &S);

给定一个字符串S，它是某个正整数N的十进制表示，返回数字[0,1，...，N]的十进制表示中的零的总数。如果结果超过1,410,000,016，则该函数应将结果除数的余数返回1,410,000,017。

例如，对于S =“100”，函数应返回12，对于S =“219”，它应返回42。

假设：

    * L is an integer within the range [1..10,000];
    * string S consists only of digits (0-9);
    * string S contains no leading zeros.

复杂度：

    * expected worst-case time complexity is O(L);
    * expected worst-case space complexity is O(L) (not counting the storage required for input arguments).

我尝试解决它并编写了函数，但运行时复杂度比我的解决方案中的O（L）更复杂，任何人都可以解决它（至少提供算法或伪代码或解释）？

成功！

Answer 1

这个问题是递归优势的一个很好的例子。考虑简单的基本情况：从1到1的数字恰好为零。

如果从1到N（比如x）的数字中有零个数，则可以将1到N * 10之间的数字计算为9 * x + log10（N * 10）。这个论点很简单：对于数字1 ...，2 ...，3 ...你需要9个具有相等数量零的块，而数字N * 10被写为10000 ....

此递归适用于10的所有幂。当您将数字拆分为构成它的10的幂时，任意N的递归并不难计算。

Answer 2

由于只有10000的上限，这在技术上是一个时空复杂性减少竞赛，只需预先计算您提交代码中的所有可能答案。您可能会注意到这是非常低效的内存，但是观察到从来没有任何查找值超过9个数字的情况，您可以使用字典来节省大量内存。

zeros.py（生成实际代码，尽管是L上的线性时间）：

def zeros(n):
        l = str(n)
        return l.count("0")

total = 0
d = {}
for i in xrange(10001):
        delta =  zeros(i)
        if (delta>0):
                total += delta
                d[i] = total

print len(d)
print
print "d = " + str(d)
print "N = int( raw_input () )"
print "while (N not in d):"
print "\t N-=1"
print "print d[N]"

生成此（32kb）文件（31ms内）：http://paste.pocoo.org/show/504589/

运行时〜分期付款O（1）

空间~L = [0..10000]的零密度为2621~26.21％。我不认为零的分布会大大增加，但无论如何 - 它的密度肯定受到O（L）的限制。

时间/空间复杂性降低。编程比赛

2 个答案: