这是今天太平洋西北地区编程竞赛中出现的一个问题，在此期间没有人解决它。这是问题B，完整的问题集在这里：http://www.acmicpc-pacnw.org/icpc-statements-2011.zip。对于使用动态编程的两个字符串的LCS，存在众所周知的O（n ^ 2）算法。但是当这些字符串扩展到环时我不知道......
P.S。请注意，它是子序列而不是子字符串，因此元素不需要彼此相邻
P.S。它可能不是O（n ^ 2）而是O（n ^ 2lgn）或者可以在公共计算机上在5秒内给出结果的东西。
答案 0 :(得分：3)
在网上搜索，这似乎由Landau，Myers和Schmidt撰写的文章“增量字符串比较”的第4.3节以成本O（ne）＆lt; O（n ^ 2），我认为e是编辑距离。本文还引用了Maes的前一篇论文，给出了成本O（mn log m）的更一般的编辑成本 - “在循环字符串到字符串校正问题”。期待参赛者重现这些论文中的任何一篇对我来说都是非常苛刻的 - 但据我所知，这个问题确实要求循环字符串上最长的共同子序列。
答案 1 :(得分：1)
您可以将第一个和第二个字符串加倍，然后使用普通方法，然后将位置包裹起来。
答案 2 :(得分：1)
最好“加倍”字符串并应用标准的动态编程算法。它的问题在于，为了获得最佳循环LCS，必须“从多个初始条件启动算法”。只有一个初始条件（例如，在边界处将所有Lij变量设置为0）通常不会这样做。在实践中，事实证明所需的初始状态的数量是O（N）（它们跨越对角线），因此一个回到O（N ^ 3）算法。 然而，该方法确实具有一些优点，因为它可用于为CLCS设计有效的O（N ^ 2）启发式（不精确但接近精确）。
我不知道是否存在真正的O（N ^ 2），并且如果有人知道，则会非常感兴趣。 CLCS问题具有非常有趣的“周期性”特性：CLCS的长度 p次重新排列的字符串是字符串的CLCS的p倍。这可以通过采用问题的几何视图来证明。
此外，该问题还有一些额外的好处：可以证明，如果Lc（N）表示长度为N的两个随机串的CLCS长度的平均值，那么 | LC（N）-CN |是O（\ sqrt {N}），其中C是Chvatal-Sankoff的常数。对于标准LCS的平均长度L（N），我所知道的唯一速率结果是| L（N）-CN |是O（sqrt（Nlog N））。可能有一种比较Lc（N）和L（N）的好方法，但我不知道。
另一个问题：很明显，与LCS长度相反，CLCS长度不是超加性的。我的意思是，CLCS（X1X2，Y1Y2）总是大于CLCS（X1，Y1）+ CLCS（X2，Y2）（用计算机很容易找到反例）。 但似乎有可能平均长度Lc（N）是超加性的（Lc（N1 + N2）大于Lc（N1）+ Lc（N2）） - 尽管如果有证据我不知道它。 对这个问题的一个微不足道的兴趣是，N的前几个值的值Lc（N）/ N将为Chvatal-Sankoff常数提供良好的界限（远远好于L（N）/ N）。
答案 3 :(得分：1)
作为mcdowella答案的后续内容，我想指出Maes论文中提出的O（n ^ 2 lg n）解决方案是竞赛问题的预期解决方案（检查http://www.acmicpc-pacnw.org/ProblemSet/2011/solutions.zip）。 Landau等人的论文中的O（ne）解决方案不适用于这个问题，因为该论文的目标是编辑距离，而不是LCS。特别是，循环编辑距离的解决方案仅适用于编辑操作（添加，删除，替换）都具有单位（1,1,1）成本的情况。另一方面，LCS相当于用（添加，删除，替换）成本编辑距离（1,1,2）。这些并不相同;例如，考虑输入字符串“ABC”和“CXY”（对于非循环情况;您可以类似地构造循环反例）。两个字符串的LCS是“C”，但最小单位成本编辑是依次替换每个字符。
在110行，但没有复杂的数据结构，Maes的解决方案落在竞赛环境中合理实施的上端。即使Landau等人的解决方案可以适用于处理循环LCS，数据结构的复杂性也使其在竞赛环境中不可行。
最后但并非最不重要的是，我想指出CLCS存在O（n ^ 2）解决方案，如下所述：http://arxiv.org/abs/1208.0396 60行，没有复杂的数据结构，只有2个数组，这个解决方案在比赛设置中实施是非常合理的。但是，到达解决方案可能是另一回事。