Question

我有一些非线性优化问题（最好在python中解决）：

给定2D平面中的3个圆（中心x1..3，y1..3，半径d1..3）。

(x-x1)^2 + (y-y1)^2 - r1^2 = 0
(x-x2)^2 + (y-y2)^2 - r2^2 = 0
(x-x3)^2 + (y-y3)^2 - r3^2 = 0

需要公共点（x / y），并且在这种情况下可以通过fsolve（scipy.optimize）计算。 但如果半径r1..3分别具有不确定性u1..3 ，如何解决问题？即圆的真实半径在区间r-u ... r + u。

如何找到包含半径不确定性的最佳点（x / y）？

Answer 1

鉴于此处的解释，这实际上并不那么难： http://mathworld.wolfram.com/Circle-CircleIntersection.html

建议的算法：

查找x - 如链接中所述。
计算y。

两者都应使用任意2个圆圈完成。

将点（x，y）和（x，-y）插入3圈。
解决方案是所有三个圆相交： X，Y X，-y 或者根本没有。

另一个建议...... 我再读一遍你的问题，并意识到你不想找到这一点......

但是，如果在纸张上绘制所有9个圆圈（3个相交，加上2个越来越大的r + e和r-e，其中e是错误），您会注意到以下情况。您的交叉点位于多边形内。您可以轻松计算此多边形的顶点。然后你的问题变成了：在多边形中找到一个点。或者你写一个找到这些顶点的异议函数，然后你最小化那个区域。

要了解我对圈子的意思，请运行：

# excuse me for the ugly code ...
import pylab
pylab.axes()

cir = pylab.Circle((1,0), radius=1, alpha =.2, fc='b')
cir1 = pylab.Circle((1,0), radius=0.9, alpha =.2, fc='b')
cir2 = pylab.Circle((1,0), radius=1.1, alpha =.2, fc='b')
cir3 = pylab.Circle((-1,0), radius=1, alpha =.2, fc='b')
cir4 = pylab.Circle((-1,0), radius=0.9, alpha =.2, fc='b')
cir5 = pylab.Circle((-1,0), radius=1.1, alpha =.2, fc='b')
cir6 = pylab.Circle((0,-1), radius=0.9, alpha =.2, fc='b')
cir7 = pylab.Circle((0,-1), radius=1.1, alpha =.2, fc='b')
cir8 = pylab.Circle((0,-1), radius=1, alpha =.2, fc='b')
pylab.gca().add_patch(cir)
pylab.gca().add_patch(cir1)
pylab.gca().add_patch(cir2)
pylab.gca().add_patch(cir3)
pylab.gca().add_patch(cir4)
pylab.gca().add_patch(cir5)
pylab.gca().add_patch(cir6)
pylab.gca().add_patch(cir7)
pylab.gca().add_patch(cir8)

pylab.axis('scaled')
pylab.show()

Answer 2

我试试这种方式。对于给定点p，我计算从该点到三个圆中的每一个的距离。这可以通过获取（1）圆与圆的原点之间的距离和（2）圆的半径之间的差的绝对值来完成。然后你的目标函数是最小化三个距离的总和（p到circleA，p到圆圈B，p到圆圈C）。我尝试算术和，但可能有一些很好的理由进行不同的聚合（ensamble平均数学类型）。然后，您使用非线性包来最小化目标函数（即三个距离的总和）。

现在你的每个圈都有重量。因此，您修改目标函数以通过每个圆的不确定性来折扣距离。同样，你需要一些逻辑来完成这种称重......朴素的方法是使用＆＃34;加权平均值＆＃34;，即将1 / sigma ^ 2作为每个距离的权重。所以你的目标函数变成了

(weighted average distance) 
= ( distA * sigmaA^-2 + distB * sigmaB^-2 + distC * sigmaC^-2 ) 
   / ( sigmaA^-2 + sigmaB^-2 + sigmaC^-2)

其中distX是从点到圆的距离，sigmaA是圆的位置的标准偏差（由于cicle位置和大小的不确定性），^-2表示正方形然后除。

使用nonlin包来最小化上述obj。通过改变点的x和y来起作用。

求解具有最小误差的非线性方程组

2 个答案: