为什么这个解决方案说DFS必须反向运行？

Question

如果我们从s开始，它会不会继续发现？

  

给出一个线性时间算法，该算法将有向非循环图G =（V，E）和两个顶点s和t作为输入，并返回G中从s到t的路径数。

---

溶液：

  

这里的基本思想是从顶点t开始，并在反向使用深度优先搜索，直到我们到达顶点。每个并保持一个计数器，指示从顶点t找到的唯一反向路径的数量。

     

  
1. 将所有顶点的计数器初始化为0。
  
2. 使用顶点t作为根，以反向方式开始深度优先搜索。
  
3. 对于在广度优先搜索中检查的每个边（u，y）。 Counter(v) = max{ Counter(v) + 1, Counter(v) + Counter(u) }
  
4. 返回柜台。
  

Answer 1

你可以试试这个： （这是http://arxiv.org/PS_cache/cond-mat/pdf/0308/0308217v1.pdf，第5页）。

我们将根据从S开始的顶点路径的数量，给出以s开头的不同顶点的权重，并根据它们远离s的边数来设置它们的距离。

1. 以wt（S）= 1和d（s）= 0;
开始
2. 与S相邻的每个顶点都给出权重= w（s）= 1且d（i）=（d）+1;

3. 对于与这些顶点之一相邻的每个顶点j和尚未定义的d（j）， 如果w（j）= 0，则指定w（i）= w（j）/ ，将父亲的wt分配给j / 否则如果d（j）= d（i）+1，那么w（j）= w（i）+ 1.

4. 重复步骤3直到达到T. wt（t）将给出从s到T的最短路径的数量。

因此，本文解释了为什么这是线性的。

Answer 2

没有需要以反向运行算法。您也可以使用正向搜索在线性时间内计算解决方案。我不认为解决方案说你需要反过来做，而你却没有。

正向和反向搜索都基于相同的一般标识，即

number-of-paths(s, t) =
  sum over nodes 'c' of any cut of the graph that separates s from t:
    number-of-paths(s, c) * number-of-paths(c, t)