Question

此问题来自2011年代码打印（http://csfall11.interviewstreet.com/）：

计算机科学的基础之一是知道数字如何以2的补码表示。想象一下，使用32位写下A和B之间的所有数字，包括2的补码表示。你会写下多少1？输入：第一行包含测试用例数T（<1000）。每个下一个T行包含两个整数A和B. 输出：输出T线，一个对应于每个测试用例。约束： -2 ^ 31＆lt; = A＆lt; = B＆lt; = 2 ^ 31-1

示例输入： 3 -2 0 -3 4 -1 4 样本输出： 63 99 37

说明：对于第一种情况，-2包含31 1后跟0，-1包含32 1和0包含0 1。因此，总数是63。对于第二种情况，答案是31 + 31 + 32 + 0 + 1 + 1 + 2 + 1 = 99

我意识到你可以使用-X中的1的数量等于（-X）= X-1的补码中的0的数量以加速搜索的事实。该解决方案声称有一个O（log X）递归关系用于生成答案但我不明白。解决方案代码可在此处查看：https://gist.github.com/1285119

如果有人能解释这种关系是如何产生的，我将不胜感激！

Answer 1

嗯，复杂......

单参数solve(int a)函数是关键。它很短，所以我将它剪切并粘贴在这里：

long long solve(int a)
{
 if(a == 0) return 0 ;
 if(a % 2 == 0) return solve(a - 1) + __builtin_popcount(a) ;
 return ((long long)a + 1) / 2 + 2 * solve(a / 2) ;
}

它仅适用于非负a，它计算从0到a的所有整数中的1位数。

该功能有三种情况：

a == 0 - ＆gt;返回0.显然。

a偶数 - ＆gt;返回a加solve(a-1)中的1位数。也很明显。

最后一个案例是有趣的。那么，我们如何计算从0到奇数{1}的1位数？

考虑0和a之间的所有整数，并将它们分成两组：平均值和赔率。例如，如果a为5，则您有两个组（二进制）：

和

000  (aka. 0)
010  (aka. 2)
100  (aka. 4)

观察这两个组必须具有相同的大小（因为001 (aka 1) 011 (aka 3) 101 (aka 5)是奇数且范围是包含的）。要计算每组中有多少1位，首先计算除最后位之外的所有位，然后计算最后位。

除最后一位之外的所有位都是这样的：

... 两个组看起来都是这样。这里的1位数仅为00 01 10。（在这个例子中，它是从0到2的1位数。另外，回想一下C / C ++中的整数除法将向下。）

对于第一组中的每个数字，最后一位为零，对于第二组中的每个数字，最后一位为0，因此最后一位对总数贡献solve(a/2)一位。

因此递归的第三种情况为(a+1)/2，并对(a+1)/2 + 2*solve(a/2)进行了适当的强制转换，以处理long long为a的情况（从而INT_MAX溢出）。

这是一个O（log N）解决方案。要将其概括为a+1，您只需计算solve(a,b)，再加上适当的逻辑来担心负数。这就是两个参数solve(b) - solve(a)正在做的事情。

Answer 2

将数组转换为一系列整数。然后对每个整数执行：

int NumberOfSetBits(int i)
{
   i = i - ((i >> 1) & 0x55555555);
   i = (i & 0x33333333) + ((i >> 2) & 0x33333333);
   return (((i + (i >> 4)) & 0x0F0F0F0F) * 0x01010101) >> 24;
}

这也是便携式的，与__builtin_popcount

不同

见这里：How to count the number of set bits in a 32-bit integer?

Answer 3

当a为肯定时，已经发布了更好的解释。

如果a是负数，那么在32位系统中，a和0之间的每个负数将使32个1位减去从0到正数a的二进制表示的位数。

所以，以更好的方式，

long long solve(int a) {
    if (a >= 0){
        if (a == 0) return 0;
        else if ((a %2) == 0) return solve(a - 1) + noOfSetBits(a);
        else return (2 * solve( a / 2)) + ((long long)a + 1) / 2;
    }else {
        a++;
        return ((long long)(-a) + 1) * 32 - solve(-a);
    }
}

Answer 4

在下面的代码中，x的位数被定义为0和x（包括）之间的数字的二进制补码表示中的1位计数，其中Integer.MIN_VALUE＆lt; = x＆lt; = Integer.MAX_VALUE。

例如：

bitsum(0) is 0   
bitsum(1) is 1   
bitsum(2) is 1   
bitsum(3) is 4

...等

10987654321098765432109876543210 i % 10 for 0 <= i <= 31
00000000000000000000000000000000 0
00000000000000000000000000000001 1
00000000000000000000000000000010 2
00000000000000000000000000000011 3
00000000000000000000000000000100 4
00000000000000000000000000000101 ...
00000000000000000000000000000110
00000000000000000000000000000111 (2^i)-1
00000000000000000000000000001000  2^i
00000000000000000000000000001001 (2^i)+1 
00000000000000000000000000001010 ...
00000000000000000000000000001011 x, 011 = x & (2^i)-1 = 3
00000000000000000000000000001100
00000000000000000000000000001101
00000000000000000000000000001110
00000000000000000000000000001111
00000000000000000000000000010000
00000000000000000000000000010001
00000000000000000000000000010010 18
...
01111111111111111111111111111111 Integer.MAX_VALUE

bitsum的公式是：

bitsum(x) = bitsum((2^i)-1) + 1 + x - 2^i + bitsum(x & (2^i)-1 )

注意x - 2 ^ i = x＆amp; （2 ^ I）-1

负数的处理方式与正数略有不同。在这种情况下，从总位数中减去零的数量：

Integer.MIN_VALUE <= x < -1
Total number of bits: 32 * -x.

负数x中的零个数等于-x - 1中的个数。

public class TwosComplement {
    //t[i] is the bitsum of (2^i)-1 for i in 0 to 31.
    private static long[] t = new long[32];
    static {
        t[0] = 0;
        t[1] = 1;
        int p = 2;
        for (int i = 2; i < 32; i++) {
            t[i] = 2*t[i-1] + p;
            p = p << 1;
        }
    }

    //count the bits between x and y inclusive
    public static long bitsum(int x, int y) {
        if (y > x && x > 0) {
            return bitsum(y) - bitsum(x-1);
        }
        else if (y >= 0 && x == 0) {
            return bitsum(y);
        }
        else if (y == x) {
            return Integer.bitCount(y);
        }
        else if (x < 0 && y == 0) {
            return bitsum(x);
        } else if (x < 0 && x < y && y < 0 ) {
            return bitsum(x) - bitsum(y+1);
        } else if (x < 0 && x < y && 0 < y) {
            return bitsum(x) + bitsum(y);
        }
        throw new RuntimeException(x + " " + y);
    }

    //count the bits between 0 and x
    public static long bitsum(int x) {
        if (x == 0) return 0;
        if (x < 0) {
            if (x == -1) {
                return 32;
            } else {
                long y = -(long)x;
                return 32 * y - bitsum((int)(y - 1));
            }
        } else {
            int n = x;
            int sum = 0;     //x & (2^i)-1
            int j = 0;
            int i = 1;       //i = 2^j
            int lsb = n & 1; //least significant bit
            n = n >>> 1;
            while (n != 0) {
                sum += lsb * i;
                lsb = n & 1;
                n = n >>> 1;
                i = i << 1;
                j++;
            }
            long tot = t[j] + 1 + sum + bitsum(sum);
            return tot;
        }
    }
}

一个范围内整数的二进制补码表示中的1的数量

4 个答案: