Question

我有一个线性方程组，构成一个 NxM 矩阵（即非方形）我需要解决 - 或者至少尝试解决以显示系统没有解决方案。（更可能的是，没有解决方案）

据我所知，如果我的矩阵不是正方形（过度或不足），那么就找不到精确解 - 我是否正确地想到这一点？有没有办法将矩阵转换为方阵以计算确定性，应用高斯消元法，克莱默定律等？

值得一提的是，我的未知数的系数可能为零，所以在某些极少数情况下，可能会有零列或零行。

Answer 1

矩阵是否为正方形不是决定解空间的因素。它是矩阵的排名与确定该列的列数相比较（参见the rank-nullity theorem）。通常，对于线性方程组，您可以得到零个，一个或无穷多个解，这取决于它的等级和无效关系。

然而，要回答您的问题，您可以使用高斯消元法找到矩阵的秩，如果这表明存在解，则找到特定解x0和矩阵的零空间Null（A）。然后，您可以将所有解决方案描述为x = x0 + xn，其中xn表示Null（A）的任何元素。例如，如果矩阵是满秩，则其零空间将为空，并且线性系统将具有至多一个解。如果它的等级也等于行数，那么您有一个唯一的解决方案。如果零空间的维度为1，那么您的解决方案将是一条穿过x0的线，该线上的任何点都满足线性方程。

Answer 2

好的，首先：非方形方程组可以有一个精确的解决方案

[ 1 0 0 ][x] = [1]
[ 0 0 1 ][y]   [1]
         [z]

显然有一个解决方案（实际上，它有一个一维解决方案系列：x = z = 1）。即使系统超定而不是欠定，它仍然可以有解决方案：

[ 1 0 ][x] = [1]
[ 0 1 ][y]   [1]
[ 1 1 ]      [2]

（X = Y = 1）。您可能希望首先查看最小二乘解决方案方法，如果存在，则找到确切的解决方案，如果不存在则找到“最佳”近似解决方案（在某种意义上）。

Answer 3

最小二乘建议非常好。

我将补充一点，您可以尝试使用奇异值分解（SVD），它将为您提供最佳答案，并免费提供有关零空间的信息。

Answer 4

取Ax = b，其中A具有m列和n行。我们不能保证只有一个解决方案，这在很多情况下是因为我们的方程组比未知数多（n更大）。这可能是因为重复测量，实际上是我们想要的，因为我们对噪声的影响保持谨慎。

如果我们观察到找不到真正意义上的解决方案，则没有办法找到b遍历A跨越的列空间。（因为x仅采用列的组合）。

但是，我们可以在A跨过的空间中寻找最接近b的点。我们如何找到这一点？ 在飞机上行走，最接近的飞机可以到达飞机外面的某个点，直到您在下面。从几何角度来讲，这是我们的视轴垂直于平面的情况。

现在这是我们可以用数学公式表示的东西。垂直矢量使我们联想到正交投影。这就是我们要做的。最简单的情况是告诉我们执行a.T b。但是我们可以取整个矩阵A.T b。

对于我们的方程式，让我们将转换应用于双方：A.T Ax = A.T b。最后一步是采用A.T A 的逆来求解x：

x = (A.T A)^-1 * A.T b

求解非方阵中的线性方程组

4 个答案: