Question

Mathematica可以进行贝叶斯规则条件概率计算，而无需手动计算吗？如果是这样的话？

我一直在搜索Mathemtaica doco和网页上的提示，但找不到任何东西。我不是在如何通过Mathematica手动执行贝叶斯规则，我想知道是否有一种方法来定义条件概率并自动计算其他概率。

所以使用假设伯努利分布的玩具示例

P(Cancer+) = 0.01
P(Cancer-) = 0.99

P(Test+|Cancer+) = 0.9
P(Test-|Cancer+) = 0.1
P(Test+|Cancer-) = 0.2
P(Test-|Cancer-) = 0.8

是否可以解决问题

P(Cancer+|Test+) = 0.0434

所以使用下面的内容。

Print["P(C+) = ", PCancerT=BernoulliDistribution[0.01]];
Print["P(C-) = ", PCancerF=BernoulliDistribution[0.99]];
Print[]
Print["P(T+|C+) = ", PTestTGivenCancerT=BernoulliDistribution[0.9]];
Print["P(T-|C+) = ", PTestFGivenCancerT=BernoulliDistribution[0.1]];
Print["P(T+|C-) = ", PTestTGivenCancerF=BernoulliDistribution[0.2]];
Print["P(T-|C-) = ", PTestFGivenCancerF=BernoulliDistribution[0.8]];
Print[]
Print["P(T+,C+) = ", PTestTAndCancerT = Probability[vCT&&vTTCT,{vCT\[Distributed]PCancerT,vTTCT\[Distributed]PTestTGivenCancerT}]];
Print["P(T-,C+) = ", PTestFAndCancerT = Probability[vCT&&vTFCF,{vCT\[Distributed]PCancerT,vTFCF\[Distributed]PTestFGivenCancerT}]];
Print["P(T+,C-) = ", PTestTAndCancerF = Probability[vCF&&vTTCF,{vCF\[Distributed]PCancerF,vTTCF\[Distributed]PTestTGivenCancerF}]];
Print["P(T-,C-) = ", PTestFAndCancerF = Probability[vCF&&vTTCF,{vCF\[Distributed]PCancerF,vTTCF\[Distributed]PTestFGivenCancerF}]];
Print[]
Print["P(C+|T+) = ?"];
Print["P(C+|T-) = ?"];
Print["P(C-|T+) = ?"];
Print["P(C-|T-) = ?"];

我可以通过手动定义所有概率表来计算联合概率，但有没有办法让Mathematica完成繁重的工作？有没有办法定义和计算这些条件概率？

非常感谢任何帮助，即使它是“你不能......停止尝试”:)

PS：这是尝试沿着这些方向做某事吗？ Symbolic Conditional Expectation in Mathematica

Answer 1

实际上......我过去曾以象征性的方式解决这个问题，它涵盖了许多简单（非链接）的概率。我想添加链接并不困难（见下文）。欢迎您通过扩充回复。符号方法比使用伯努利分布更灵活，并为贝叶斯定理创建一个过程并思考每次应用它的正确方法。

注意：函数没有绑定，就像上面((0 < pC < 1) && (0 < pTC < 1) && (0 < pTNC < 1))中的帖子一样，因为有时候你想要“未加权”的结果，产生0-1范围之外的数字，那么你可以通过划分回到范围内通过一些归一化概率或概率乘积。如果您确实要添加边界以进行错误检查，请执行以下操作：
P[A_ /;0<=A<=1] := some_function_of_A;

使用Esc+cond+Esc在Mathematica中输入\\[Conditioned]符号。

Remove[P];
Unprotect@Intersection;
Intersection[A_Symbol, B_Symbol] := {A, B}
Intersection[A_Not, B_Symbol] := {A, B}
Intersection[A_Symbol, B_Not] := {A, B}
P[Int_List/; Length@Int == 2] := P[Int[[2]] \[Conditioned] Int[[1]]] P[Int[[1]]]
   (*//  P(B) given knowledge of P(A)  //*)
P[B_, A_] := If[NumericQ@B, B, 
                P[B \[Conditioned] A] P[A] + P[B \[Conditioned] Not@A] P[Not@A]]
P[Not@B_, A_: 1] := If[NumericQ@A, 1 - P[B], 1 - P[B, A]]
P[A_ \[Conditioned] B_] := P[A \[Intersection] B]/P[B, A]
P[Not@A_ \[Conditioned] B_] := 1 - P[A \[Conditioned] B];

然后你可以这样使用它：

P[Cancer]=0.01;

不需要“没有癌症”，因为P[!Cancer]会产生0.99（Esc+not+Esc类型非常符合逻辑的非符号，但是Not[A]，!A或\[Not]A工作也很好）

P[Test \[Conditioned] Cancer] = 0.9
P[Test \[Conditioned] ! Cancer] = 0.2

再次

：根据定义，P[!Test \\[Conditioned] Cancer]将为1-P[Test \\[Conditioned] Cancer]，除非您覆盖它。

现在让我们查询这个模型：

P[Test, Cancer]
P[!Test, Cancer]

返回

0.207
0.793

和

P[Cancer \[Conditioned] Test]
P[!Cancer \[Conditioned] Test]
P[Cancer \[Conditioned] !Test]
P[!Cancer \[Conditioned] !Test]

返回

我想定义P(B|A1,A2,A3,...,An)是个好主意，任何人都可以使用NestList编写链规则或类似的东西？我的项目并不需要它，但是如果有人需要的话，添加起来并不困难。

Answer 2

我不会使Print语句和BernoulliDistribution的问题复杂化。你知道概率，所以最简单的方法是直接计算它们，但也许使用向量来获得P(B)，并使用pr（癌症）= 1-pr（不是癌症）等事实。

贝叶斯定理指出P（A | B）=（P（A⋂B））/（P（B））

交叉点计算为条件概率（给予癌症的测试）乘以癌症概率。

所以类似下面的内容应该有效：

conditionalProb[pC_, pTC_, pTNC_] /; 
 (0 < pC < 1) && (0 < pTC < 1) && (0 < pTNC < 1) :=
 (pTC * pC)/({pTC, pTNC}.{pC, 1 - pC})

conditionalProb[0.01, 0.9, 0.2]

0.0434783

是的，版本8中的Probability功能确实允许您“自动地”计算条件概率，但对于像伯努利分布式事件这样的问题，它是过度的。

你如何在Mathematica中计算出条件概率。可能吗？

2 个答案: