Question

说我正在尝试评估多项式：

x^2 + 1

使用快速傅里叶变换方法评估系数。现在我可以使用co-effcient作为快速傅立叶变换的输入将其更改为矩阵/向量形式：

这样：

x^2 + 1 = <1, 0, 1, 0>

这是通过使用系数值来完成的，例如1 = 1,0x ^ 1 = 0，X ^ 2 = 1等等

现在我们到了完全困惑的位置。我打算使用vandermonde矩阵：Vandermonde matrix ~ Wiki使用矩阵将这些值计算成FFT表格：

1 1 1 1  
1 i-1-i
1-1 1-i
1-i 1 i

的输出

fft(1,0,1,0)

是

(2,0,2,0)

现在这个步骤我不太明白，我们是如何使用该矩阵得到的（2,0,2,0）？

Answer 1

首先，您的Vandermonde矩阵不正确。（4,3）条目应该是-1而不是1，因为第四行应该是（-i）⁰，（ - i）¹，（ - i ）²，（ - i）³。特别注意

（ - i）*（ - i）=（ - 1）² * i ² = i ² = -1。< / p>

通过此校正，结果得出Vandermonde矩阵乘以列向量（1,0,1,0）。

Answer 2

也许你可以解释一下你的总体目标是什么。我从未听说过用于评估多项式的FFT。它们用于乘以多项式，或者用于卷积信号（等效任务），但除非多项式/信号具有大量项，否则我不会打扰。 x ² + 1不大。 16个术语并不大，甚至64或256个术语可能更好地通过简单的O（N ²）技术完成。

Discrete Fourier Transforms使用矩阵M _ij =ω^ij其中ω是第N个复数根1，列/行编号从0到N 1。

快速傅立叶变换从不直接使用此矩阵，它们经过大量优化，使用分而治之技术（Cooley-Tukey algorithm）通过串联和并联的2x2 DFT阶段计算最终结果。

如果你把你的矢量写成[0,1,0,1]而不是[1,0,1,0]，我想你会看到如果你把它乘以你给出的矩阵，你会得到[0,2,0,2]。（虽然你有错误，但它是

1 1 1 1  
1 i-1-i
1-1 1-1
1-i-1 i

）您正在使用的程序中必须有一些约定，它会反转向量系数的顺序。