Question

给出n分：

p0，p1，p2，...，pn;

如何得到点c1，c2，以便由

定义的三次贝塞尔曲线

p0，c1，c2，pn

最接近给定点？

我尝试过最小二乘法。我在http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/15542-cubic-bezier-least-square-fitting阅读pdf文档后写了这篇文章。但我找不到一个好的t（i）功能。

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Windows;

namespace BezierFitting
{
    class CubicBezierFittingCalculator
    {
        private List<Point> data;

        public CubicBezierFittingCalculator(List<Point> data)
        {
            this.data = data;
        }

        private double t(int i)
        {
            return (double)(i - 1) / (data.Count - 1);
            // double s = 0.0, d = 0.0;
            // 
            // for (int j = 1; j < data.Count; j++)
            // {
            //     if (j < i)
            //     {
            //         s += (data[j] - data[j - 1]).Length;
            //     }
            //     d += (data[j] - data[j - 1]).Length;
            // }
            // return s / d;
        }

        public void Calc(ref Point p1, ref Point p2)
        {
            double n = data.Count;
            Vector p0 = (Vector)data.First();
            Vector p3 = (Vector)data.Last();

            double a1 = 0.0, a2 = 0.0, a12 = 0.0;
            Vector c1 = new Vector(0.0, 0.0), c2 = new Vector(0.0, 0.0);
            for (int i = 1; i <= n; i++)
            {
                double ti = t(i), qi = 1 - ti;
                double ti2 = ti * ti, qi2 = qi * qi;
                double ti3 = ti * ti2, qi3 = qi * qi2;
                double ti4 = ti * ti3, qi4 = qi * qi3;
                a1 += ti2 * qi4;
                a2 += ti4 * qi2;
                a12 += ti3 * qi3;

                Vector pi = (Vector)data[i - 1];
                Vector m = pi - qi3 * p0 - ti3 * p3;
                c1 += ti * qi2 * m;
                c2 += ti2 * qi * m;
            }
            a1 *= 9.0;
            a2 *= 9.0;
            a12 *= 9.0;
            c1 *= 3.0;
            c2 *= 3.0;

            double d = a1 * a2 - a12 * a12;
            p1 = (Point)((a2 * c1 - a12 * c2) / d);
            p2 = (Point)((a1 * c2 - a12 * c1) / d);
        }
    }
}

获得最接近给定点的三次贝塞尔曲线的最佳方法是什么？

例如，这里有30分：

这些点分布在由四个点控制的三次贝塞尔曲线周围：

P0（0,256），P1（512,0），P2（0,0），P3（256,256）。

假设曲线是从（0,256）到（256,256），如何让两个控制点靠近原点？

Answer 1

您可能需要查看此页面：http://www.antigrain.com/research/bezier_interpolation/index.html

这是一个非常好的实现，尽管作者写道：“这种方法纯粹是启发式和经验性的。从严格的数学建模的角度来看，它可能会给出一个错误的结果。但在实践中，结果是足够好的，它需要绝对最少的计算。“

它是用C ++编写的，但很容易移植到任何语言...... 通过控制点计算功能传递每个“边缘”，然后通过贝塞尔计算一个，你就拥有它。要在多边形上执行bezier平滑，请使用最后一个和第一个点传递最后一个边。

Bezier smooth

Answer 2

（三次）贝塞尔曲线是一种定义一般形式P = A * t ^ 3 + B * t ^ 2 + C * t + D的三次参数样条的方法，其中P，A，B，C和D是（二维的，即矢量）权重。使用Bernstein多项式，您可以计算给定四个控制点P0，P1，P2和P3的权重A，B，C和D，如实际上所有矢量绘图程序所知。

由于你只有四个控制点，但想要适应任意数量的任意点，我怀疑没有独特的解决方案。例如，给定输入（0,0），（1,0），（1,1）和（0,1），对于每个“最优”解决方案（无论它是什么），您可以通过镜像来构造等效解决方案。沿主对角线的样条曲线。

这种问题的一般方法是构造一个方程，用于所有点到一般贝塞尔曲线的距离的平方和（即由变量定义的曲线 A ，B，C和D），计算第一个偏差并将其设置为零并求解A，B，C和D的最终系统。这通常会导致线性方程组（对不起，我需要一些时间做数学，自从我这样做了很长时间......）。但是，正如我所说，我认为对于您的问题，这不会产生独特的解决方案。

如果您在输入点上定义一个顺序，即您希望使用单个贝塞尔曲线拟合多边形线，我认为对于一个独特的解决方案有太多的自由度（但是再说一次，我没有时间或技能证明......）

Answer 3

如果要使用尖点创建曲线，则问题非常严重。我可以想一个启发式来创建一组初始控制点。对于第一个控制点，尝试从距离到第一个锚点的距离进行排序时，获取可用点的前1/3。排序是必要的，否则，你可能会跳过。取1/3的点并进行线性最小二乘拟合，这具有线性时间复杂度。这为您提供了曲线需要起飞的方向。用最后的1/3做同样的事情，你就有了“着陆”的方向。

使用这些线性解决方案创建指向远离锚点的向量，然后尝试使这些向量越来越短，尝试最小化错误。控制点将沿着锚点的那些向量。

以下是其他一些想法（我只能发布两个链接！）： physics forum question bezier curve fitting thesis

Answer 4

根据您的问题判断，我假设您只希望优化曲线拟合在三次贝塞尔曲线的2'内部'控制点上。这不是一个容易解决的问题，因为参数化地描述了贝塞尔曲线。最明显的解决方案是使用最小二乘正交距离回归，但这很困难，因为您需要在Bezier曲线上为您希望拟合的每个点生成足点参数。如果这个问题需要一个特定的分析解决方案并且你有一些数学教育，我会建议阅读Peigl和Tiller的“The NURBS Book”，并熟悉近似理论和优化技术。如果没有，我会采用更具启发性的方法，因为这类问题不太可能通过简单的答案来解决。

Answer 5

Khan的函数使用两个版本的t [i]，其中t [i]表示近似曲线上最接近点到输入点p [i]的猜测。第一个简单地使用均匀的t [i] = i /（N-1），第二个使用和弦长度。虽然我找不到Khan的功能，但我认为这只是计算线性距离p [i]到p [i + 1]，将t [0]设置为0，t [1]到距离p [0]到p [1]，t [2]到t [1] +距离p [1]到p [2]，依此类推。除以最后一个值，将所有内容放在0-1范围内。

如何获得最接近给定点的三次贝塞尔曲线？

5 个答案: