如何抵消三次贝塞尔曲线？

Question

我正在尝试创建一条“平行”贝塞尔曲线。在我的尝试中，我已经接近但没有雪茄。我试图在2条曲线（红色，蓝色）之间保持稳定的1px偏移。

我的主要目标是使用边缘偏离algorythm来扩展/缩小svg路径。

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解决方案

对于正在寻找解决方案的任何人，我都会创建一个AS3版本。

http://seant23.wordpress.com/2010/11/12/offset-bezier-curves/

Answer 1

来自维基百科：（http://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve）

在给定Bézier曲线的固定偏移处的曲线，通常称为偏移曲线（与原始曲线“平行”，如铁路轨道中的轨道之间的偏移），不能由Bézier曲线精确地形成（除了一些琐碎的案例）。但是，有一些启发式方法通常可以为实际目的提供足够的近似值。

您可能还会看到此处指出的文件： Outline of cubic bezier curve stroke

Answer 2

通常不可能将三次贝塞尔曲线的偏移表示为三次贝塞尔曲线（具体而言，当您的尖点或曲率半径接近偏移距离时，这是有问题的）。但是，您可以将偏移量逼近任何精确度。

试试这个：

• 抵消有问题的Beziers（你已经看起来相当不错了）
• 测量每条原始曲线与相应偏移曲线之间的差异。我会尝试10个样本，看看它是否运作良好。
• 对于任何超出公差的偏移，细分（使用Beziers的deCastlejau算法）并迭代。

我没有实现偏移量（因为我使用的内核已经有了一个），但这似乎有点值得尝试。

Answer 3

我希望你发现我的数学论文很有用

具有选择性细分的二次贝塞尔偏移 http://microbians.com/?page=math

Answer 4

你要求的是数学中的parallel or offset curve。 Bezier曲线上的维基百科文章（上面引用的其他文章）未能链接到“偏移曲线”的正确文章，但我几秒前就已经解决了这个问题。在矢量图形的世界中，同样的概念被称为抚摸路径。

通常，对于立方/贝塞尔曲线，偏移曲线是10阶多项式！资料来源：Kilgard, p. 28

如果您只想光栅化这样的偏移曲线，而不是计算它们的分析形式，您可以查看ghostscript的来源。您还可以查看this patent application以了解NV_path_rendering是如何做到的。

如果你想隐藏/近似偏移曲线，那么MetaFog上用于覆盖METAFONT到PostScript字体的TUG文件是一个很好的阅读。早于PostScript的METAFONT系统允许通过（更具数学复杂性）的描边操作来描述字体，但PostScript Type 1字体仅允许使用填充（与一般的PostScript绘图不同），原因在于速度。

this paper by Gernot Hoffmann的第7节给出了另一种算法，用于将偏移近似为（仅两个）贝塞尔曲线（每边一个），使用PostScript中的代码。 （给OpenGL论坛上的某个人提示找到它。）

实际上有很多这样的算法。我找到了1997 survey各种算法来近似偏移曲线。他们假设祖先曲线是Beziers或NURBS。