数值积分

Question

一般来说，当你在数字上进行评估和积分时，比如在MATLAB中，我只是选择一个大数字作为边界，还是有办法告诉MATLAB“采取限制？”

我假设您只使用大数字，因为不同的机器可以处理不同数量的数字。

我只是想知道他们是否是一种改进我的代码的方法。我通过蒙特卡罗进行了大量的期望值计算，并且经常使用梯形方法检查我自己的自由度是否足够小。

Answer 1

严格地说，不可能将数值积分评估为无穷大。在大多数情况下，如果所讨论的积分是有限的，则可以简单地在相当大的范围内进行积分。为了收敛到一个稳定的值，正常误差的积分必须小于10 sigma - 无论好坏，这个值是相等，因为你要评估相同的一直到无限的整体。

Answer 2

这在很大程度上取决于您要集成的功能类型。如果它是“平滑的”（没有跳跃 - 最好也不是任何衍生物，但是逐渐变得不那么重要）并且有限，那么你有两个主要选择（限制自己采用最简单的方法）： 1.如果它是周期性的，这里的意思是：你可以将左右两端放在一起，并且也没有值的跳跃（和衍生物......）：在间隔上均匀分布你的点，然后只取样函数值得到估计的平均值，然后乘以间隔的长度来得到你的积分。 2.如果不是周期性的：使用Legendre-integration。

蒙特卡罗几乎总是一种糟糕的方法：它朝着（机器）精度进展非常缓慢：对于任何额外的有效数字，你需要应用100倍以上的分数！ 上面的两种方法，对于周期性和非周期性的“漂亮”（平滑等）函数，只需很少的采样点即可得到公平的结果，然后以非常快的速度向更精确的方向发展：2个点中的1个通常会增加几个数字你的精确度！当你想要使用更多的样本点来应用下一个努力时，这远远超过你必须丢弃前一个结果的所有部分的负担：你用一个全新的替换前一组点，而在蒙特卡罗你可以只需简单地将点添加到现有集合中，然后细化结果。