嵌套数值积分

Question

链接中的问题： 可以通过分析进行整合，答案是4，但是我有兴趣使用Matlab进行数值整合，因为它在形式上与我无法通过分析整合的问题相似。数值积分的难度之所以出现是因为两个内积分中的函数是x，y和z以及z的函数，不能将其计算出来。

Answer 1

绝不是，这很优雅。希望有人能比我更好地利用matlab功能。我试过蛮力的方式来练习数值积分。我试图通过利用它也乘以z的事实来避免z = 0处的内积分中的极点。我得到3.9993。有人必须通过使用比梯形规则更好的东西来获得更好的解决方案

function []=sofn
clear all

global x y z xx yy zz dx dy

dx=0.05;
x=0:dx:1;
dy=0.002;
dz=0.002;
y=0:dy:1;
z=0:dz:2;

xx=length(x);
yy=length(y);
zz=length(z);

s1=0;
for i=1:zz-1
    s1=s1+0.5*dz*(z(i+1)*exp(inte1(z(i+1)))+z(i)*exp(inte1(z(i))));
end
s1

end

function s2=inte1(localz)
global y yy dy

if localz==0
    s2=0;
else
s2=0;
for j=1:yy-1
    s2=s2+0.5*dy*(inte2(y(j),localz)+inte2(y(j+1),localz));
end
end

end

function s3=inte2(localy,localz)
global x xx dx

s3=0;
for k=1:xx-1
    s3=s3+0.5*dx*(2/(localy+localz));
end

end

Answer 2

嗯，这很奇怪，因为在海报上类似的上一个问题我声称这不可能完成，现在看了Guddu的回答之后，我意识到它并不复杂。我之前写的，数值积分导致数字而不是函数，是真的 - 但除此之外：人们可以定义一个函数来评估每个给定参数的积分，这样有效地一个做具有数值积分的功能。

无论如何，这里是：

function q = outer

    f = @(z) (z .* exp(inner(z)));
    q = quad(f, eps, 2);

end

function qs = inner(zs)
% compute \int_0^1 1 / (y + z) dy for given z

    qs = nan(size(zs));
    for i = 1 : numel(zs)
        z = zs(i);
        f = @(y) (1 ./ (y + z));
        qs(i) = quad(f, 0 , 1);
    end

end

我在评论中应用了自己建议的简化，消除了x。函数inner计算y上的内积分值作为z的函数。然后函数outer计算z上的外积分。通过让积分从eps而不是0运行来避免z = 0处的极点。结果是

4.00000013663955

inner必须使用for循环实现，因为赋予quad的函数需要能够同时为多个参数值返回其值。