证明各种运行时有各种大O复杂性？

Question

我如何证明以下内容：

1. 10 n logn∈O（2n ² ）

2. n log n + 40·2 ⁿ - 6n∈O（2 ⁿ ）

在第一篇中，我正在使用这个数学：

  

10 n logn≤c·2n ²

     

10 n ² ≤c·2n ² 除以2

     

5 n ² ≤c·n ²

我猜c = 5且n ₀ = 1，但我不确定这是不是真的。

在第二个中，我试图将左侧乘以2 ⁿ ，但这并没有结束。有没有人有任何建议？

Answer 1

对于第（1）部分，您要证明

  

10 n log n = O（2n ² ）

对于任何n≥1的

，可能会有所帮助

  

log n＆lt; Ñ

因此，你有那个

  

10 n logn≤10n ² = 5（2n ² ）

因此，您可以得出10n log n = O（2n ² ）的结论，因为您可以选择n ₀ = 1和c = 5并使用正式定义大O

对于（i）部分，您想要证明

  

n log n + 40·2 ⁿ - 6n = O（2 ⁿ ）

你可能想要在这里使用的一个有用的事实是，对于任何n≥4，n ² ≤2 ⁿ 。因此，每当n≥4时，我们得到/ p>

  

n log n + 40·2 ⁿ - 6n≤nlog n + 40·2 ⁿ ≤40·2 ⁿ + n ² ≤40·2 ⁿ + 2 ⁿ = 41·2 ⁿ

因此，如果选择n ₀ = 4且c = 41，则可以使用big-O的形式定义来证明n log n + 40·2 ⁿ - 6n = O（2 ⁿ ）。

希望这有帮助！