Question

如何按递增顺序打印2^i * 5^j形式的数字。

For eg:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20

Answer 1

这实际上是一个非常有趣的问题，特别是如果你不希望这是N ^ 2或NlogN的复杂性。

我将做的是以下内容：

定义包含2个值（i和j）以及公式结果的数据结构。
定义包含此数据结构的集合（例如std :: vector）
使用值（0,0）初始化集合（在这种情况下结果为1）
现在循环执行以下操作：
- 查看集合并获取具有最小值的实例
- 将其从集合中删除
- 打印出来
- 根据您刚处理的实例创建2个新实例
  - 在第一个实例中增加i
  - 在第二个实例中增加j
- 将两个实例添加到集合中（如果它们不在集合中）
循环，直到你有足够的时间

通过选择正确的数据结构和集合，可以轻松调整性能。例如。在C ++中，您可以使用std :: map，其中键是公式的结果，值是对（i，j）。取最小值然后只取第一个实例（* map.begin（））。

我快速编写了以下应用程序来说明它（它有效！但不包含其他评论，抱歉）：

#include <math.h>
#include <map>
#include <iostream>

typedef __int64 Integer;

typedef std::pair<Integer,Integer> MyPair;
typedef std::map<Integer,MyPair> MyMap;

Integer result(const MyPair &myPair)
{
return pow((double)2,(double)myPair.first) * pow((double)5,(double)myPair.second);
}

int main()
{
MyMap myMap;
MyPair firstValue(0,0);

myMap[result(firstValue)] = firstValue;

while (true)
   {
   auto it=myMap.begin();
   if (it->first < 0) break;        // overflow

   MyPair myPair = it->second;
   std::cout << it->first << "= 2^" << myPair.first << "*5^" << myPair.second << std::endl;

   myMap.erase(it);

   MyPair pair1 = myPair;
   ++pair1.first;
   myMap[result(pair1)] = pair1;

   MyPair pair2 = myPair;
   ++pair2.second;
   myMap[result(pair2)] = pair2;
   }
}

Answer 2

这非常适合函数式编程风格。在F＃中：

let min (a,b)= if(a<b)then a else b;;
type stream (current, next)=
    member this.current = current
    member this.next():stream = next();;
let rec merge(a:stream,b:stream)=
    if(a.current<b.current) then new stream(a.current, fun()->merge(a.next(),b))
    else new stream(b.current, fun()->merge(a,b.next()));;

let rec Squares(start) = new stream(start,fun()->Squares(start*2));;

let rec AllPowers(start) = new stream(start,fun()->merge(Squares(start*2),AllPowers(start*5)));;
let Results = AllPowers(1);;

适用于结果，然后是具有当前值和下一个方法的流类型。

走过它：

我为minnes定义了min。
我定义了一个流类型，它具有一个当前值和一个返回一个新字符串的方法，基本上是一个数字流的头尾。
我定义了函数merge，它接受两个流的当前值中较小的一个，然后递增该流。然后递归以提供流的其余部分。基本上，给定两个按顺序排列的流，它将生成一个按顺序排列的新流。
我将正方形定义为以2的幂增加的流。
AllPowers获取起始值，并将所有正方形得到的流合并为此数量为5.它与将其乘以5得到的流，因为这是您唯一的两个选项。你实际上留下了一个结果树

结果是合并越来越多的流，因此您合并以下流

1,2,4,8,16,32 ......

5,10,20,40,80,160 ......

25,50,100,200,400 ......

。通过尾递归和编译器优化等来合并所有这些变得相当有效。

这些可以像这样打印到控制台：

let rec PrintAll(s:stream)=
    if (s.current > 0) then
        do System.Console.WriteLine(s.current)
        PrintAll(s.next());;

PrintAll(Results);

let v = System.Console.ReadLine();

类似的事情可以用任何语言来完成，它允许递归并将函数作为值传递（如果你不能将函数作为变量传递，它只会稍微复杂一些）。

Answer 3

对于O（N）解决方案，您可以使用到目前为止找到的数字列表和两个索引：一个表示要乘以2的下一个数字，另一个表示要乘以5的下一个数字。然后在每次迭代你有两个候选值来从中选择较小的一个。

在Python中：

 numbers = [1]
 next_2 = 0
 next_5 = 0

 for i in xrange(100):
     mult_2 = numbers[next_2]*2
     mult_5 = numbers[next_5]*5

     if mult_2 < mult_5:
        next = mult_2
        next_2 += 1
     else:
        next = mult_5
        next_5 += 1

     # The comparison here is to avoid appending duplicates
     if next > numbers[-1]:
        numbers.append(next)

 print numbers

Answer 4

所以我们有两个循环，一个递增i，第二个递增j从零开始，对吧？（乘以符号在问题的标题中令人困惑）

你可以做一些非常简单的事情：

添加数组中的所有项目
对数组进行排序

或者你需要一个有更多数学分析的其他解决方案？

编辑：利用与Merge Sort问题的相似性提供更智能的解决方案

如果我们将2^i和5^j的无限数量想象为两个独立的流/列表，则此问题看起来与众所周知的Merge Sort问题非常相似。

解决方案步骤如下：

从每个流（2个和5个）中获取两个数字
比较
返回最小的
从先前返回的最小

就是这样！ ;）

PS：合并排序always的复杂程度为O(n*log(n))

Answer 5

我将此问题可视化为矩阵M M(i,j) = 2^i * 5^j。这意味着行和列都在增加。

考虑按递增顺序在条目中画一条线，显然从条目(1,1)开始。当您访问条目时，行和列增加条件可确保由这些单元格形成的形状始终为integer partition（英文表示法）。跟踪此分区（mu = (m1, m2, m3, ...)，其中mi是行i中较小条目的数量 - 因此m1 >= m2 >= ...）。然后，您需要比较的唯一条目是可以添加到分区的条目。

这是一个粗略的例子。假设您访问了所有x s（mu = (5,3,3,1)），那么您只需检查@ s：

x x x x x @
x x x @
x x x 
x @
@

因此，支票的数量是可添加单元格的数量（相当于Bruhat order的上升方式的数量，如果你想要用posets来思考的话。）

给定分区mu，可以很容易地确定可添加状态是什么。在最后一个正面条目之后成像0 s的无限字符串。然后，当且仅当mi时，您可以1增加m(i-1) > mi。

回到示例，对于mu = (5,3,3,1)，我们可以增加m1 (6,3,3,1)或m2 (5,4,3,1)或m4 (5,3,3,2)或m5 (5,3,3,1,1)。

然后问题的解决方案找到正确的分区序列（饱和链）。在伪代码中：

mu = [1,0,0,...,0];
while (/* some terminate condition or go on forever */) {
    minNext = 0;
    nextCell = [];
    // look through all addable cells
    for (int i=0; i<mu.length; ++i) {
        if (i==0 or mu[i-1]>mu[i]) {
            // check for new minimum value
            if (minNext == 0 or 2^i * 5^(mu[i]+1) < minNext) {
                nextCell = i;
                minNext = 2^i * 5^(mu[i]+1)
            }
        }
    }
    // print next largest entry and update mu
    print(minNext);
    mu[i]++;
}

我在Maple中写了这个，经过12次迭代后停止了：

1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50

并输出了输出的细胞序列并得到了这个：

1  2  3  5  7 10
4  6  8  11 
9  12

对应于此矩阵表示：

1, 2, 4, 8, 16, 32...

5, 10, 20, 40, 80, 160...

25, 50, 100, 200, 400...

Answer 6

首先，（正如其他人已经提到的）这个问题很模糊！

尽管如此，我将根据您的模糊等式和模式作为预期结果进行拍摄。因此，我不确定以下内容是否符合您的要求，但它可能会让您对Java集合有所了解！

import java.util.List;
import java.util.ArrayList;
import java.util.SortedSet;
import java.util.TreeSet;


public class IncreasingNumbers {

    private static List<Integer> findIncreasingNumbers(int maxIteration) {
        SortedSet<Integer> numbers = new TreeSet<Integer>();
        SortedSet<Integer> numbers2 = new TreeSet<Integer>();

        for (int i=0;i < maxIteration;i++) {
            int n1 = (int)Math.pow(2, i);
            numbers.add(n1);

            for (int j=0;j < maxIteration;j++) {
                int n2 = (int)Math.pow(5, i);
                numbers.add(n2);

                for (Integer n: numbers) {
                    int n3 = n*n1;
                    numbers2.add(n3);
                }
            }
        }

        numbers.addAll(numbers2);

        return new ArrayList<Integer>(numbers);
    }

    /**
     * Based on the following fuzzy question @ StackOverflow
     * http://stackoverflow.com/questions/7571934/printing-numbers-of-the-form-2i-5j-in-increasing-order
     * 
     * 
     * Result:
     * 1 2 4 5 8 10 16 20 25 32 40 64 80 100 125 128 200 256 400 625 1000 2000 10000 
     */
    public static void main(String[] args) {
        List<Integer> numbers = findIncreasingNumbers(5);

        for (Integer i: numbers) {
            System.out.print(i + " ");
        }
    }
}

Answer 7

如果你能在O（nlogn）中做到这一点，这里有一个简单的解决方案：

Get an empty min-heap
Put 1 in the heap
while (you want to continue)
    Get num from heap
    print num
    put num*2 and num*5 in the heap

你有它。通过min-heap，我的意思是min-heap

Answer 8

作为一名数学家，在看这样的事情时，我总是会想到的第一件事是“对数会有帮助吗？”。

在这种情况下可能会。

如果我们的系列A增加，那么系列日志（A）也在增加。由于A的所有项都是2 ^ i.5 ^ j的形式，因此系列log（A）的所有成员的形式为i.log（2）+ j.log（5）

然后我们可以查看系列日志（A）/ log（2），它也在增加，其元素的形式为i + j。（log（5）/ log（2））

如果我们计算出为最后一个系列生成完整有序列表的i和j（称之为B），那么i和j也将正确生成A系列。

这只是改变问题的本质，但希望能够更容易解决问题。在每一步，您可以增加i并减少j，反之亦然。

看看你可以做出的一些早期变化（我可能会将其称为i，j的变换或只是变换）给我们提供了一些我们前进的线索。

显然将i增加1将使B增加1.但是，如果log（5）/ log（2）约为2.3，则将j增加1而将i减小2将增加仅0.3。然后问题是在每个阶段找到B对i和j的变化的最小可能增加。

为了做到这一点，我只保留了一个记录，因为我增加了i和j的最有效变换（即从每个变换中添加和减去的变换）以获得系列中最小的可能增加。然后应用任何一个有效（即确保i和j不变为负数）。

因为在每个阶段你可以减少i或减少j，实际上有两类变换可以单独检查。新的转换不一定要包含在我们未来的检查中，只比其他同类检查更好。

为了测试我的思想，我在LinqPad中编写了一个程序。需要注意的一点是，Dump（）方法只是将对象输出到屏幕，并且语法/结构对于真正的c＃文件无效。如果你想运行它，转换它应该很容易。

希望任何未明确解释的内容都可以从代码中理解。

void Main()
{
    double C = Math.Log(5)/Math.Log(2);
    int i = 0;
    int j = 0;
    int maxi = i;
    int maxj = j;

    List<int> outputList = new List<int>();
    List<Transform> transforms = new List<Transform>();
    outputList.Add(1);
    while (outputList.Count<500)
    {
    Transform tr;
        if (i==maxi)
        {
            //We haven't considered i this big before. Lets see if we can find an efficient transform by getting this many i and taking away some j.
            maxi++;
            tr = new Transform(maxi, (int)(-(maxi-maxi%C)/C), maxi%C);
            AddIfWorthwhile(transforms, tr);
        }
        if (j==maxj)
        {
            //We haven't considered j this big before. Lets see if we can find an efficient transform by getting this many j and taking away some i.
            maxj++;
            tr = new Transform((int)(-(maxj*C)), maxj, (maxj*C)%1);
            AddIfWorthwhile(transforms, tr);
        }
        //We have a set of transforms. We first find ones that are valid then order them by score and take the first (smallest) one.
        Transform bestTransform = transforms.Where(x=>x.I>=-i && x.J >=-j).OrderBy(x=>x.Score).First();
        //Apply transform
        i+=bestTransform.I;
        j+=bestTransform.J;
        //output the next number in out list.
        int value = GetValue(i,j);
        //This line just gets it to stop when it overflows. I would have expected an exception but maybe LinqPad does magic with them?
        if (value<0) break;
        outputList.Add(value);
    }
    outputList.Dump();

}

public int GetValue(int i, int j)
{
    return (int)(Math.Pow(2,i)*Math.Pow(5,j));
}

public void AddIfWorthwhile(List<Transform> list, Transform tr)
{
    if (list.Where(x=>(x.Score<tr.Score && x.IncreaseI == tr.IncreaseI)).Count()==0)
    {
        list.Add(tr);
    }
}

// Define other methods and classes here
    public class Transform
    {
        public int I;
        public int J;
        public double Score;
        public bool IncreaseI
        {
            get {return I>0;}
        }

        public Transform(int i, int j, double score)
        {
            I=i;
            J=j;
            Score=score;
        }
    }

我没有费心去看这个效率，但我强烈怀疑它比其他一些解决方案更好，因为在每个阶段，我需要做的就是检查我的变换集 - 计算出这些变换中有多少与“n”是非平凡的。它显然是相关的，因为你越往前就会有更多的变换，但是新变换的数量在更高的数字时变得越来越小，所以也许它只是O（1）。这个O东西总是让我困惑。 ; - ）

其他解决方案的一个优点是，它允许您计算i，j而无需计算产品，从而可以计算出序列的内容，而无需计算实际数字本身。

在前230个nunmbers之后它的价值（当int空间用完时）我每次都要进行9次变换检查。并且考虑到它只有我的总数溢出，我跑了，如果为第一百万个结果，并得到i = 5191和j = 354。变换的数量是23.该列表中该数字的大小约为10 ^ 1810。达到这个水平的运行时间约为5秒。

P.S。如果你喜欢这个答案，请随时告诉你的朋友，因为我花了很多年的时间和几个+ 1s将是很好的补偿。或者实际上只是评论告诉我你的想法。：）

Answer 9

我确信现在每个人都可能得到答案，但只是想给这个解决方案指明一点......

这是一个Ctrl C + Ctrl V来自 http://www.careercup.com/question?id=16378662

 void print(int N)
  {
     int arr[N];
     arr[0] = 1;
     int i = 0, j = 0, k = 1;
     int numJ, numI;
     int num;
       for(int count = 1; count < N; )
        {
          numI = arr[i] * 2;
          numJ = arr[j] * 5;

            if(numI < numJ)
             {
               num = numI;
               i++;
             }

           else
            {
              num = numJ;
              j++;
            }

            if(num > arr[k-1])
            {
             arr[k] = num;
             k++;
             count++;
            }

       }

     for(int counter = 0; counter < N; counter++)
     {
      printf("%d ", arr[counter]);
     }
}

Answer 10

我提出的问题是回归无限的解决方案。我考虑使用树木，但觉得在确定何时收获和修剪树木方面存在问题，因为我有无数的价值观。学家我意识到可以使用筛分算法。从零开始，确定每个正整数是否具有i和j的值。通过转动answer =（2 ^ i）*（2 ^ j）并解决i来促进这一点。这给了我i = log2（答案/（5 ^ j））。这是代码：

class Program
{
static void Main(string[] args)
{
    var startTime = DateTime.Now;

    int potential = 0;

    do
    {
        if (ExistsIandJ(potential))
            Console.WriteLine("{0}", potential);
            potential++;
    } while (potential < 100000);

    Console.WriteLine("Took {0} seconds", DateTime.Now.Subtract(startTime).TotalSeconds);

}

private static bool ExistsIandJ(int potential)
{
    // potential = (2^i)*(5^j)
    // 1 = (2^i)*(5^j)/potential
    // 1/(2^1) = (5^j)/potential or (2^i) = potential / (5^j)
    // i = log2 (potential / (5^j))

    for (var j = 0; Math.Pow(5,j) <= potential; j++)
    {
        var i = Math.Log(potential / Math.Pow(5, j), 2);
        if (i == Math.Truncate(i))
            return true;
    }
    return false;
}
}

以递增的顺序打印形式2 ^ i * 5 ^ j的数字

10 个答案: